[M数学] lc528. 按权重随机选择(前缀和+数学+概率+几何概型+好题)

Posted 2022-12-05 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：528. 按权重随机选择

2. 题目解析

一般来讲，产生随机数本身就是一个不可靠的事情。但是本题对于工程上而言，也是有一定实际意义的。例如，负载均衡，算力各不相同当然要以不同的权重进行分配。但是前面讲了，因为随机数的不稳定性，又产生新的算法，一致性哈希等。

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本题，其实可以将其理解为一个几何概型。w[i] 为在数轴上的长度，在总长度 sum 中进行随机的投针试验，落到那一段和其长度成正比，也是符合其题目要求的。抽象如下图：

但是实际上，我们并不需要真的随机一个小数，然后判断其再哪一段。我们可以将其再离散化，将点 1 作为下标 0 的一段，点 2, 3 作为下标 1 的一段，点 4,5,6 作为下标 2 的一段。

这些段的分界点恰好就是对应左边的前缀和，只需要随机 1,2,3,4,5,6 这些随机数（也就是 [1,sum] 之间的整数），也可以按照概率将其分到每一段。

具体来讲，如果随机到 x，我们只需找到大于等于 x 的那个数在哪一段即可。例如，x=4，那么大于等于 4 的第一个区间段就是下标为 2 的这一段，且前缀和数组 s[0]=1,s[1]=3,s[2]=6。刚好就停在下标为 2 的位置处，也就完成了一次从值到下标的随机查找。

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这个设计很巧妙，先是转化为几何概型，然后再将其转为整数问题，再结合前缀和+二分的思想优化解题。很不错。

稠密的长度，可以转化为稀疏的整数。只要倍数关系不变，概率整体就不变。

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• 时间复杂度：$O(nlogn)$。
• 空间复杂度：$O(n)$

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class Solution 
public:
    vector<int> s;
    Solution(vector<int>& w) 
        s = w;
        for (int i = 1; i < s.size(); i ++ ) s[i] += s[i - 1];
    
    
    int pickIndex() 
        int x = rand() % s.back() + 1;          // 取得 [1, sum] 中的整数部分随机数
        return lower_bound(s.begin(), s.end(), x) - s.begin();
    
;

/**
 * Your Solution object will be instantiated and called as such:
 * Solution* obj = new Solution(w);
 * int param_1 = obj->pickIndex();
 */