坐标系统

Posted 2022-12-02 zssure

前言：

DICOM世界观·开篇中顺便提到了DICOM标准中提及的各类坐标系统。鉴于篇幅问题（CSDN博客的确不太适合写长学术类博文），对于坐标系统的偏理论部分放到本篇进行介绍。正如“DICOM世界观·开篇”中提到的，希望按照“科学”本身的方式——大量观察经验+理论推理——来介绍相关知识点。
本篇博文内容大致如下：

1.3. 坐标系变换
1.3.1 方向余弦
1.3.2 欧拉角
1.3.3 四元数
1.3.4 DICOM中的方向余弦示例

第一章 坐标系统 Coordinate System

开篇中提到了“笛卡尔坐标系”的伟大贡献，使得数学与几何两者有机的结合了起来，快速推进了人类文明的进步，至少古希腊文明取得了空前的进步。还记得高中时莫名的很讨厌解析几何（Coordinate geometry，可以简单地理解为将空间的几何问题当做数学方程式来解），因为它巧妙的利用解析式的数字方法掩盖了空间的复杂，让我引以为傲的超强空间想象力变得苍白无力。只怪当时井底之蛙未能完全体会它的美。
目前我们已经确定了DICOM世界观的一种度量方式——笛卡尔右手坐标系——但笛卡尔坐标系仅仅是诸多链接数学与几何映射方式的一种而已，另外还有极坐标（Polar Coordinate System）、圆柱坐标（Cylindrical Coordinate System）、球坐标（Spherical Coordinate System）、齐次坐标（Homogeneous Coordinate System，后续章节会重点提到）等等。接下来让我们看看在该度量体系下如何来描述DICOM中的相关实体。

1.3 坐标系变换 Coordinate Transformations

坐标系变换，Coordinate Transformations，在这里可能表述不够准确。更精确的描述应该指的是不同坐标系，例如极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、齐次坐标等，彼此之间的转换。这里我想表达的意思是利用坐标转换的表达方式（例如下文的余弦向量、欧拉角、四元数）来描述DICOM世界中出现的相关变换，例如平移、旋转、缩放等，他们大多都是发生在笛卡尔坐标系统之下，作为生活在三维世界的生物，我们更习惯于笛卡尔理论体系的描述——亦或因为习惯了笛卡尔体系使得我们认为我们是三维的生物。

1.3.1 方向余弦 Direction Cosine

方向余弦，是解析几何中的一个概念。Wiki描述如下：

In analytic geometry, the direction cosines (or directional cosines) of a vector are the cosines of the angles between the vector and the three coordinate axes. Equivalently, they are the contributions of each component of the basis to a unit vector in that direction.

方向余弦本身是一个向量，vector。用来描述任一空间向量V与坐标系坐标轴间夹角的余弦，可以唯一的确定向量在坐标系下的方向，在现实应用中，方向余弦多半用于描述空间任一两个向量间的夹角。既然是解析几何的概念，我之前也提到过，可以完全用于数学解析的方式来描述：如下所示：

$$\\begineqnarray* 假设v是三维欧式空间的一个向量，v=v_xe_x+v_ye_y+v_ze_z \\endeqnarray*$$
其中 $v_x,v_y,v_z$ 分别表示向量 $v$在坐标系x，y，z三轴中的坐标，那么该向量与三个坐标轴之间的夹角的方向余弦是：
$$\\begineqnarray* α=\\cos a=\\fracv_x\\sqrtv_x^2+v_y^2+v_z^2 ，与x轴的夹角余弦\\\\ β=\\cos b=\\fracv_y\\sqrtv_x^2+v_y^2+v_z^2 ，与y轴的夹角余弦\\\\ γ=\\cos c=\\fracv_z\\sqrtv_x^2+v_y^2+v_z^2 ，与z轴的夹角余弦\\\\ \\endeqnarray*$$
如下图所示：

图片摘自：方向余弦维基百科
大家可以打开自己的笔记本，使得屏幕与键盘面垂直放置，取键盘面短的一边为x轴，与屏幕相交的为y轴，屏幕短的一边为z轴，然后取一支笔放在键盘面与屏幕相交的左侧交点（作为坐标原点）处，随意移动铅笔的尾端感觉一下方向余弦的三个分量是如何来确定笔所指的方向。

感受完了我们来介绍一下方向余弦的特性，

所谓的特性往往是特定理论体系其内在所表达的一些规律，但这并不代表背后一定对应着真实的物理客观事实

。例如：
- 特性一： $\\cos^2 α + \\cos^2 β + \\cos^2 γ = 1$
- 特性二： $0\\leq a \\leq π，0\\leq b \\leq π，0\\leq c \\leq π$

特性一我们比较常见，在解析几何、矩阵运算等场合遇到的归一化、单元向量等问题，目的是为了运算方便且在乘法运算过程中确保不改变原始物体的大小。特性二是为了应对三角函数的周期特性而提出的，因为三角函数重复周期为2π，不加限制的话上述特性一解空间有无数个。

1.3.2 欧拉角 Euler Angles

欧拉角是另一种描述坐标系中物体（Wiki中描述为刚性体，Rigid Body，即物体本身不会发生形变）方向的方式，与上述夹角描述法不同的是：欧拉角体系中通过描述三个坐标轴的旋转来确定物体的方位，可以简单的理解为通过旋转坐标系的三个坐标轴（即绕着某个坐标轴旋转）来获得目标方位。
欧拉角的几何描述也可以用类似于方向余弦的三个角度来表示，用xyz表示旋转之前的坐标系，XYZ表示旋转后的坐标系，这里忽略两者的平移，使得两坐标系原点重合。并且去x-y平面与X-Y平面的交线记为N，如下图所示：用 α、余弦距离

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