康托展开

Posted 2022-12-01 雷八天

康托展开

　　康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。
　　这个公式可能看着让人头大，最好举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以
X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？
a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。
a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。
a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。
a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）
所以，X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20

A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5

通过康托逆展开生成全排列

　　如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3()，它可以返回  s 的第 m 个排列。

前面的内容从http://archive.cnblogs.com/a/2026276/转载

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstdlib>
using namespace std;
class cantor
public:
	int n;//字符串的长度
	string s;
	int pos;//字符串在全排列中的字典位置，从0开始
	vector<int>num;//所有的字符
	cantor(string s):s(s)n=s.size();
	cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos)
		int i;
		for(i=0;i<n;i++)
			num.push_back(i);
	
	int fac(int);
	void encode();
	void decode();
	
;
int cantor::fac(int num)
	if(num==0) return 1;
		else return num*fac(num-1);

void cantor::encode()
	int i,j,count;
	vector<int>vec(n);
	for(i=0;i<n;i++)
		count=0;
		for(j=i;j<n;j++)
			if(s[i]>s[j]) count++;	
		vec[n-i-1]=count;
				
	pos=0;
	for(i=0;i<s.size();i++)
		pos+=vec[i]*fac(i);	

void cantor::decode()
	int i;
	div_t divresult;
	for(i=n-1;i>=0;i--)
		divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数
		s.push_back(num[divresult.quot]+'0');
		num.erase(num.begin()+divresult.quot);
		pos=divresult.rem;
			

int main()
	cantor test(4,2);
	test.decode();
	cout<<test.s<<endl;