随机变量的数字特征

Posted 2022-12-01 会思考的浣熊

第四章 随机变量的数字特征

一、数学期望

（一）概念

1. 一维随机变量的数学期望
   
   • 离散型$P\\X = x_i\\ = p_i$
     $$EX = \\sum_i x_i p_i$$
     更一般地，若 $Y = \\varphi(X)$，则
     $$EY = \\sum_i \\varphi(x_i) p_i$$
   • 连续型$X \\sim f(x)$
     $$EX = \\int_-\\infty^+\\infty xf(x)dx$$
     更一般地，若 $Y = \\varphi(x)$ ，则
     $$EY = \\int_-\\infty^+\\infty \\varphi(x)f(x)dx$$
2. 二维随机变量的数学期望
   
   • 离散型 $P\\X = x_i, Y = y_j\\ = p_ij$，且 $Z = \\varphi(X, Y)$
     $$EZ = \\sum_i=1^m \\sum_j=1^n \\varphi(x_i, x_j)p_ij$$
   • 连续型$(X, Y) \\sim f(x, y)$，令 $Z = \\varphi(X, Y)$，则
     $$EZ = \\int_-\\infty^+\\infty \\varphi(x, y) f(x, y)dy$$

（二）数学期望的性质

1. $E(C) = C$
2. $E(kX) = kEX$
3. $E(aX \\pm bY) =aEX \\pm bEY$
4. 设随机变量 $X, Y$ 相互独立，则 $EXY = EX EY$，反之不对。
   $$\\text独立 \\to \\textEXY = \\textEX\\textEY$$

二、方差

（三）、方差的性质

1. $DC = 0$
2. $D(kX) = k^2DX$
3. $$D(aX+b) = a^2DX$$
4. 设随机变量 $X, Y$ 相互独立，则 D(概率论与数理统计基本概念随机变量的数字特征

   概率论与数理统计:随机变量的数字特征

   随机变量的数字特征

   [概率论与数理统计]笔记：3.4 随机向量的数字特征

   2.6 随机变量的数字特征

   随机变量的数字特征之数学期望