poj1006

Posted 2022-11-30 water_forever_

中国剩余定理（孙子定理），中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。

要引入本题解法，先来看一个故事 “韩信点兵”：
传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人，后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2），由于已经知道士兵总人数在2300~2400之间，所以韩信根据23，128，233，——，每相邻两数的间隔是105（3、5、7的最小公倍数），便立即说出实际人数应是2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官十分敬佩，这就是韩信点兵的故事。
韩信点兵问题简化：已知 n%3=2, n%5=3, n%7=2, 求n。

再看我们这道题，读入p,e,i,d 4个整数
已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n 。

两道题是一样的。但是韩信当时计算出结果的？ 韩信用的就是“中国剩余定理”，《孙子算经》中早有计算方法，大家可以查阅相关资料。
“韩信点兵”问题计算如下：
因为n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3，5，7互质 （互质可以直接得到这三个数的最小公倍数）
令x= n%3=2 ， y= n%5=3 ，z= n%7=2
使5×7×a被3除余1，有35×2=70，即a=2；[求a可以变成实现，此 处直接给出结果]
使3×7×b被5除余1，用21×1=21，即b=1；
使3×5×c被7除余1，用15×1=15，即c=1。
那么n =（70×x+21×y+15×z）%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解
而韩信已知士兵人数在2300~2400之间，所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333，此时i=22

同样，这道题的解法就是：
已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i
使33×28×a被23除余1，用33×28×8=5544；
使23×33×b被28除余1，用23×33×19=14421；
使23×28×c被33除余1，用23×28×2=1288。
因此有（5544×p+14421×e+1288×i）% lcm(23,28,33) =n+d
又23、28、33互质，即lcm(23,28,33)= 21252;
所以有n=（5544×p+14421×e+1288×i-d）%21252
本题所求的是最小整数解，避免n为负，因此最后结果为n= [n+21252]% 21252
那么最终求解n的表达式就是：
n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
如果n=0，n=21252；