实验二 基于MATLAB的离散时间系统的响应

Posted 2022-11-29 胡毛毛_三月

一、实验目的：

1．了解离散时间系统的基本特性；
2．掌握离散时间系统的时域分析方法；
3．学会利用MATLAB函数对离散时间系统进行分析计算。

二、实验原理：

在MATLAB工具箱中，有许多函数可以计算离散LTI系统不同的响应形式。这些函数，为工程技术人员进行离散LTI系统的分析带来了极大的方便。

1.离散系统的时域响应

描述离散LTI系统输入和输出的差分方程为：

对上式两端同时进行z变换可得系统的系统函数H(z):

则向量是系统差分方程中输入信号前面的系数；
向量是系统差分方程中输出信号前面的系数；
另外 b和a分别为离散LTI系统的系统函数H(z)的分子和分母多项式系数。

2.因果离散LTI系统的单位脉冲响应函数dimpulse、impz和阶跃响应stepz

(1) dimpulse函数的调用格式为： (说明：MATLAB有些版本中没有dimpulse函数。)
[y,k]=dimpulse(b,a) 或者dimpulse(b,a)
其中，y为单位脉冲响应，b和a分别为离散LTI系统的系统函数的H(z)的分子和分母多项式系数。当函数不带输出变量时，可在当前图形窗口中直接绘出系统的输出响应曲线。
(2)impz函数调用格式为：
[h,m]=impz(b,a) 或[h,m]=impz(b,a,n)或者impz(b,a)
[h,m]=impz(b,a)计算系统的单位脉冲响应和相应的时间轴向量。b和a分别为系统函数H(z)的分子和分母多项式系数。也可简写为h=impz(b,a)。
[h,m]=impz(b,a,n)计算系统n点的单位脉冲响应和相应的时间轴向量。也可简写为h=impz(b,a,n)。
impz(b,a)直接在当前图形窗口绘制出系统的单位脉冲响应波形图。
例【2-1】某离散LTI系统的差分方程为：，则对应的向量为a=[1,-1,0.8]，b=[1]，则该系统的单位脉冲响应的波形，MATLAB的程序如下：

 clear all
 a=[1,-1,0.8];
 b=[1];
impz(b,a);

其运行结果如图2所示：

                     图2  例题2-3的程序运行结果                           

(3)stepz函数是求解因果离散LTI系统单位阶跃响应，并绘制其时域波形，其调用格式为： [h,m]=stepz(b,a) 或者stepz(b,a)

3.滤波函数filter

从滤波的角度，无论是连续LTI系统还是离散LTI系统，系统对输入信号的响应，实质上就是对输入信号的频谱进行不同选择处理的过程，这个过程称为滤波。所以，MATLAB工具箱提供了一维滤波器函数filter，可以计算出差分方程的响应。其MATLAB中函数调用方式如下。

y=filter(b,a,x)或 y=filter(b,a,x,zi)

y=filter(b,a,x)计算系统在输入x作用下的零状态响应y。
y=filter(b,a,x,zi)计算系统在输入x和初始状态作用下的全响应y。zi是由系统的初始状态经过filtic函数转换而得到的初始条件。zi=filtic(b,a,Y0);其中Y0为系统的初始状态，Y0=[y(-1),y(-2),y(-3),…]。
【例2-2】已知系统函数，求
（1）若输入，求系统的零状态响应；
（2）若输入
，初始条件为y(-1)=1，y(-2)=2求系统的全响应。
解：
（1）计算前100的零状态响应
程序如下：

clear all
N=100;
b=[1,2];
a=[1,0.4,-0.12];
x=ones(1,N);
y=filter(b,a,x);
k=0:N-1;
plot(k,y);    

（2）计算前100的全响应
程序如下：

clear all
N=100;
b=[1,2];
a=[1,0.4,-0.12];
x=ones(1,N);
zi=filtic(b,a,[1,2]);
y=filter(b,a,x,zi);
k=0:N-1;
plot(k,y);

【例2-3】已知受噪声干扰的正弦信号，其中表示均值为0方差为1的高斯分布随机信号。试用M=9点滑动平均系统

滤除信号中的噪声干扰。
解：程序如下

clear all
M=9;
N=100;
k=0:N-1;
zs=randn(1,N);
s=10*sin(0.02*pi*k);
x=s+zs;
b=ones(1,M)/M;
a=1;
y=filter(b,a,x);
subplot(2,1,1)
plot(k,x)
xlabel('(a)受噪声干扰的输入信号');
subplot(2,1,2)
plot(k,y)
xlabel('(b)滤除噪声干扰的输出信号');
hold on
plot(k,s,'r')
legend('y(k)','s(k)');
axis([0 100 -12 12]);

运行结果如图1所示。

             图1  例题2-1的程序运行结果

4． 响应函数dlsim

对任意输入的离散LTI系统的响应函数dlsim，其MATLAB调用格式如下：
y=dlsim(b,a,x)或者dlsim(b,a,x)
其中，当x为输入信号，y为零状态响应，b和a分别为离散LTI系统的系统函数的H(z)的分子和分母多项式系数。说明：当dlsim函数不返还输出变量时，可在当前图形窗口中直接绘出系统的输出响应曲线。
【例2-4】有二阶系统：

求系统对100点随机噪声的响应曲线。
MATLAB程序为：

clear all
b=[2,-3.4,1.5 ];
a=[1,-1.2,0.8];
x=randn(1,100); %产生随机信号
dlsim(b,a,x);
title(‘随机噪声响应’);

5. conv函数

在离散时间的情况下，系统对任意输入信号x(k)的零状态响应y(k)=x(k)*h(k)。MATLAB的conv函数可以帮我们快速求解出两个离散序列的卷积，即离散LTI系统的响应。其调用格式和具体用法见实验一。

三、作业：

1. 了解所给的MATLAB相关函数，并在计算机上运行这些范例程序, 进一步分析程序中各个语句的作用，从而真正理解这些程序的编程算法。
   2.已知两个系统的系统函数分别为和
   。

（1）利用MATLAB的impz函数画出这两个系统的单位脉冲响应，并判断系统是否稳定。

（2）利用MATLAB的filter函数画出这两个系统的单位脉冲响应，并判断系统是否稳定。

3.已知离散LTI系统的差分方程为

（1）若初始条件为y(-1)=1，y(-2)=2，输入，求系统的全响应，画出波形图。
（2）若输入，求系统的零状态响应，画出波形图。

4.数字信号处理的应用之一是从含有加性噪声的信号中去除噪声。现在被噪声污染的信号，其中，为均匀分布的白噪声。
（1）分别产生50点序列和白噪声序列，将二者叠加生成，并在同一张图上绘出、和。

（2）均值滤波可以有效的去除叠加在低频信号上的噪声。已知3点滑动平均数字滤波器的单位脉冲响应，将作用于该滤波器量状态响应为。在同一张图上绘出、和，比较序列和。

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