算法导论习题—排序最坏情况线性时间选择算法小顺序统计量

Posted 2022-11-25 之墨_

算法基础习题—排序、最坏情况线性时间选择算法、小顺序统计量

• • • • • $1.$ 下面的排序算法中哪些是稳定的:插入排序、归并排序、堆排序、快速排序和计数排序?给出一个能使任何排序算法都稳定的方法。你所给出的方法带来的额外时间和空间开销是多少?
        • $2.$给定一个整数数组，其中不同的整数所包含的数字的位数可能不同。但该数组中，所有整数中包含的总数字位数为$n$。设计算法使其可以在$O(n)$时间内对该数组进行排序。
        • $3$.(小顺序统计量) $SELECT$算法(找第$i$小的元素)最坏情况下的比较次数$T(n)=\Theta (n)$，但是其中的常数项是非常大的。请对其进行优化，使其满足:
        • 1. 在最坏情况下的比较次数为$\Theta (n)$。
        • 2. 当$i$是小于$n/2$的常数时，最坏情况下只需要进行$n+O(\log n)$次比较。

$1.$ 下面的排序算法中哪些是稳定的:插入排序、归并排序、堆排序、快速排序和计数排序?给出一个能使任何排序算法都稳定的方法。你所给出的方法带来的额外时间和空间开销是多少?

​ 插入排序、归并排序、计数排序是稳定的。

​ 将数组元素的下标也考虑在比较过程中，即对于原始数组$arr$的每一个元素$arr[i]$都建立一个结构体$a[i]：value:arr[i],index:i$存入结构体数组$a$中，在比较大小时，当$a[i].value<a[j].value$或者$a[i].value==a[j].value\&\&a[i].index<a[j].index$时我们认为$a[i]<a[j]$，否则认为$a[i]>a[j]$，按照这个规则进行排序可以保证任意的排序算法均是稳定的，需要的空间是原来的两倍，额外时间在于$a[i].value==a[j].value$时对$index$进行比较的时间，但在线性时间内，不影响总体时间复杂度。

$2.$给定一个整数数组，其中不同的整数所包含的数字的位数可能不同。但该数组中，所有整数中包含的总数字位数为$n$。设计算法使其可以在$O(n)$时间内对该数组进行排序。

设第$i$个整数的位数为$c_i$，有$m$个整数，则$\sum _{i=1}^m{c}_i=n$，若最高位数为$c_{max}\le n$，则此时使用基数排序的时间复杂度为$\Theta (c_{max}\cdot m)$，不满足$O(n)$时间复杂度的要求。

​ 考虑将数组先按数字位数进行分组，再对每一组采用基数排序，对第$i$个有$c_i$位的整数，确定它的位数需要的时间为$c_i$，则确定所有分组需要的时间为$\sum _{i=1}^m{c}_i=n=\Theta (n)$。假设总共分为$x$组，对于第$k$组，该组的每个元素位数为$c_k$，有$m_k$个元素，总位数及总元素个数分别为$\sum _{k=1}^x{c}_k=n,\sum _{k=1}^x{m}_k=m$，对第$k$组采用基数排序的时间复杂度为$\Theta (c_k\cdot m_k)$，总时间复杂度为$\sum _{k=1}^x\Theta (c_k\cdot m_k)=\Theta (c_1{m}_1)+\Theta (c_2{m}_2)+\dots +\Theta (c_x{m}_x)=\Theta (n)$，满足在$O(n)$时间内进行排序的要求。

$3$.(小顺序统计量) $SELECT$算法(找第$i$小的元素)最坏情况下的比较次数$T(n)=\Theta (n)$，但是其中的常数项是非常大的。请对其进行优化，使其满足:

1. 在最坏情况下的比较次数为$\Theta (n)$。

2. 当$i$是小于$n/2$的常数时，最坏情况下只需要进行$n+O(\log n)$次比较。

将输入的数组划分为$\lfloor n/2\rfloor$组，比较次数为 ⌊ n 2