为什么有一些二分查找取 mid 的时候要加 1

Posted 2022-11-24 liweiwei1419

为什么有一些二分查找取 mid 的时候要加 1

以「力扣」第 69 题：x 的平方根为例。

题目描述：实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。

由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1：

输入: 4
输出: 2

示例 2：

输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

数据范围：

• 0 <= x <= 2^31 - 1

这道问题的代码：

public class Solution 

    public int mySqrt(int x) 
        // 特殊值判断
        if (x == 0) 
            return 0;
        
        if (x == 1) 
            return 1;
        

        int left = 1;
        int right = x / 2;
        // 在区间 [left..right] 查找目标元素
        while (left < right) 
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            // 注意：这里为了避免乘法溢出，改用除法
            if (mid > x / mid) 
                // 下一轮搜索区间是 [left..mid - 1]
                right = mid - 1;
             else 
                // 下一轮搜索区间是 [mid..right]
                left = mid;
            
        
        return left;
    

由于我们只是讲解 mid 为什么要 加 $1$，如何分析和解决这道问题，可以查看 题解。

对着错误的测试用例打印出变量 left 、right 和 mid 的值看一下就很清楚了。

public class Solution 

    public int mySqrt(int x) 
        // 特殊值判断
        if (x == 0) 
            return 0;
        
        if (x == 1) 
            return 1;
        

        int left = 1;
        int right = x / 2;
        // 在区间 [left..right] 查找目标元素
        while (left < right) 
            // 取中间数 mid 下取整时
            int mid = left + (right - left ) / 2;

            // 调试语句开始
            try 
                Thread.sleep(1000);
             catch (InterruptedException e) 
                e.printStackTrace();
            
            System.out.println("left = " + left + ", right = " + right + ", mid = " + mid);
            // 调试语句结束

            // 注意：这里为了避免乘法溢出，改用除法
            if (mid > x / mid) 
                // 下一轮搜索区间是 [left..mid - 1]
                right = mid - 1;
             else 
                // 下一轮搜索区间是 [mid..right]
                left = mid;
            
        
        return left;
    

    public static void main(String[] args) 
        Solution solution = new Solution();
        int x = 9;
        int res = solution.mySqrt(x);
        System.out.println(res);
    

控制台输出：

left = 1, right = 4, mid = 2
left = 2, right = 4, mid = 3
left = 3, right = 4, mid = 3
left = 3, right = 4, mid = 3
left = 3, right = 4, mid = 3
left = 3, right = 4, mid = 3

在区间只有 $2$​ 个数的时候，本题 if、else 的逻辑区间的划分方式是：[left..mid - 1] 与 [mid..right]。如果 mid 下取整，在区间只有 $2$​ 个数的时候有 mid 的值等于 left，一旦进入分支 [mid..right] 区间不会再缩小，出现死循环。

解决办法：把取中间数的方式改成上取整。

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