C++AVL树的简单实现及验证

Posted 2022-11-05 Suk-god

文章目录

• 1、什么是AVL树？
• 2、AVL树部分模块模拟实现
• • 2.1 AVL树结点的定义：
  • 2.2 AVL树的插入
  • 2.3 AVL的验证

1、什么是AVL树？

  AVL树可以是一棵空树
  AVL树也可以是一棵具有如下性质的二叉搜索树：
    ①它的左右子树都是一棵AVL树
    ②左右子树高度之差（平衡因子）的绝对值不能超过1

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，那么他就是AVL树。
如果他有n个结点，其高度可以保持在O(log₂n),搜索时时间复杂度也就是O(log₂n)

2、AVL树部分模块模拟实现

2.1 AVL树结点的定义：

AVL树本质上讲，它是一棵二叉搜索树，只不过加上了平衡因子这一限制条件。

也就是说，在插入一个新节点时，我们不仅要考虑结点的插入位置，还需要考虑插入该节点后对于树中其他结点来说，平衡因子是否需要更新。

其中，插入节点的父节点，它的平衡因子一定需要改变。这就要求我们需要能够快速定位到插入节点的父节点。因此，我们对于AVL树结点的结构应定义为孩子双亲表示法

🆗，下面给出结点的基本结构：

template<class T>
struct AVLTreeNode

	typedef AVLTreeNode<T> Node;
	Node* _left;//左孩子
	Node* _right;//右孩子
	Node* _parent;//双亲
	T _value;
	int _bf;//结点的平衡因子
	
	AVLTreeNode(const T& value)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_value(value)
		,_bf(0)
	

2.2 AVL树的插入

AVL树的插入可以分为两大步骤：

①按照二叉搜索树的方式插入新节点
  第一步不是本文的重点，不了解的童鞋移步至二叉搜索树

②调整结点的平衡因子

1、现在我们先给出实现第一部分的核心代码：

		if (nullptr == _root)
		
			//这是一棵空树，直接插入结点即可
			_root = new Node(value);
			return true;
		

		//1、按照二叉搜索树的方式查找结点的插入位置
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		
			if (cur->_value == value)
			
				return false;
			
			else if (cur->_value > value)
			
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			
			else
			
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			
		
		Node* newNode = new Node(value);
		if (value > parent->_value)
		
			parent->_right = newNode;
		
		else
		
			parent->_left = newNode;
		
		newNode->_parent = parent;

2、更新双亲的平衡因子
分析：
  首先，新节点插入之后，其双亲结点的平衡因子一定需要跟新，因为，插入一个结点，则该节点一定会影响其双亲的左右子树高度。因此，我们首先将双亲结点的平衡因子进行更新；

  对parent的平衡因子更新完毕后，parent的平衡因子可能的取值是：
0 、正负1、正负2。我们下面就这三种大情况分别讨论：

情况1：parent的平衡因子为0
  该情况说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入之后被调整成为0，此时满足AVL树的性质，插入成功！

情况2：parent的平衡因子为正负1
  该情况说明插入之前parent的平衡因子一定是0（也就是说以parent为u根的二叉树左右子树高度是一样的）,
  插入后被更新为正负1，此时以parent为根的树高度增加了，势必会影响到parent上面结点的平衡因子，因此需要继续向上跟新。

情况3：parent的平衡因子为正负2
 该种情况较为复杂。首先，我们可以知道此时parent的平衡因子违反了AVL树的特性，因此需要对齐进行旋转处理。至于如何旋转，我们分以下几种场景进行讨论：
  场景一：新节点插入在较高左子树的左侧----->右单旋
具体场景如下图所示：

具体操作见代码：

void RotateRight(Node* parent)
	
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;
		if (subLR)
		
			subLR->_parent = parent;
		
		//更新subL和parent的双亲
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
		subL->_parent = pparent;

		//处理pparent
		if (nullptr == pparent)
		
			_root == subL;
		
		else 
		
			if (pparent->_left == parent)
			
				pparent->_left = subL;
			
			else
			
				pparent->_right = subL;
			
		

		//跟新subL和parent的平衡因子
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
		
	

  场景二：新节点插入在较高右子树的右侧----->左单旋

具体操作见代码：

void RotateLeft(Node* parent)
	
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
		
			subRL->_parent = parent;
		
		subR->_left = parent;

		//更新parent && subR的双亲
		Node* pparent = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;
		subR->_parent = pparent;

		//处理pparent
		if (nullptr == pparent)
		
			_root = subR;
		
		else
		
			if (pparent->_left == parent)
			
				pparent->_left == subR;
			
			else
			
				pparent->_right = subR;
			
		
		//跟新subR && parent的平衡因子
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	

  场景三：新节点插入在较高左子树的右侧----->左右双旋

具体代码：

void RotateLR(Node* parent)
	
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;


		RotateLeft(parent->_left);
		RotateRight(parent);

		if (1 == bf)
		
			subL->_bf = -1;
		
		else if (-1 == bf)
		
			parent->_bf = 1;
		
	

  场景四：新节点插入在较高右子树的左侧----->右左双旋
此场景类比场景三，这里直接给出代码：

void RotateRL(Node* parent)
	
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateRight(parent->_right);
		RotateLeft(parent);

		if (1 == bf)
			parent->_bf = -1;
		else if (-1 == bf)
			subR->_bf = 1;
	

2.3 AVL的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上增加了平衡因子，因此我们可以从两方面进行验证：
  1、验证是否是一棵二叉搜索树
思路：查看中序遍历结果，若有序，则为二叉搜索树

  2、验证它是否是一棵平衡树
思路：每个节点的高度差不超过1

int GetHigh(Node* root)
	
		if (nullptr == root)
			return 0;

		int leftHigh = GetHigh(root->_left);
		int rightHigh = GetHigh(root->_right);
		return leftHigh > rightHigh ? leftHigh + 1 : rightHigh + 1;
	
	bool _IsAVLTree(Node* root)
	
		if (nullptr == root)
		
			return true;
		
		int leftHigh = GetHigh(root->_left);
		int rightHigh = GetHigh(root->_right);
		if (rightHigh - leftHigh != root->_bf || abs(root->_bf) > 1)
		
			cout << "Node:" << root->_value << endl;
			cout << rightHigh - leftHigh << " " << root->_bf << endl;
			return false;
		
		// 根的左子树 和 根的右子树
		return _IsAVLTree(root->_left) &&
			_IsAVLTree(root->_right);
	

以上就是AVL树插入模块的模拟实现与验证。具体源码请参考AVL模拟