21年icpc上海区域赛B题Strange Permutations (容斥+生成函数)

Posted 2022-11-04 吃花椒的妙酱

题意： 求给定n的排列P，求满足对于任意i∈[1,n-1]满足$Q_{i+1}\ne P_{Q_i}$的Q排列方案数。（n<=1e5）
Solution: 排列的图意义

\\quad 直接看这个式子有点晕，看到排列可以从图意义入手。
我们设P，Q的图意义为：$P_{Q_i}->Q_{i+1}$，当然反过来也一样的（这个意义想了几天，被$i->P_{i+1}$的固有套路给框柱了，意义是可以自定义的）。如果考虑i从1到n的话，连出来肯定是若干环，这个和$i->P_i$的建图意义是一样的。
\\quad 乱证一下：因为$P_{Q_i}$是个排列，$Q_{i+1}$也是个排列（先假设Qn+1有意义），把两个排列按照$Q_{i+1}$大小排序，就转化成了$i->P_i$。
\\quad 然后因为i只从1到n-1，那图是个哈密顿图（哈密顿路径）。因为只有n-1个点有出边，n-1个点有入边，且出入度至多为1，画画图得连出来是个哈密顿图。或者从上面连出来的环意义考虑，首先环是不合法的，因为有环就意味这每个点入出度都为1，显然不对，那还要联通，只能是哈密顿图了。
\\quad 说了这么多就想证，图意义是哈密顿图。那问题转化成图上有n条禁边，求合法的哈密顿路径数量。禁边的可以设成(i,Pi)。
\\quad 为什么这样设是对的呢，上面证了i->Pi的建图意义和$P_{Q_i}->Q_{i+1}(假设Q_{n+1}的意义是Q_1且Q_1不存在)$等价，那反过来也是等价的。
直观点，我们列出$P_{Q_i}$和$Qi+1$
P:3 4 1 2
Q:1 4 3 2
$P_{Q_i}$:3 2 1 4
$Q_{i+1}$: 4 3 2 ？
根据上面的建图意义，这是合法的。
来组不合法的。
P:3 4 1 2
Q:1 3 4 2
$P_{Q_i}$:3 2 1 4
$Q_{i+1}$:3 4 2 ？
3指向3不合法了，发现用$i->P_i$与这个建图意义的禁边意义是相同的！于是就可以转成n条禁边(i,Pi)。而n条禁边组成了若干环，我们要选的是哈密顿回路，所以不能有环。
\\quad 考虑容斥，$f(i)$表示钦定选i条禁边的哈密顿路径数，因为不能有环，所以对于禁边组成的若干环，每个环上的边都不能全取，则$ans={\sum }_{i=0}^{n-1}(-1{)}^i\ast f(i)$(这是二项式反演，但不是没有组合数的容斥系数！容斥系数在后面的多项式计算里体现出来了！所以最外层不用带组合数！！！)。
设每个环多项式为$g(x)={\sum }_{i=0}^{siz-1}C(siz,i)x^i$，其中siz为环大小。
$设F=\prod g_j,f(i)=[x^i]F$,即第i项的系数,F的计算用启发式合并算一下就可以了。
时间复杂度$O(nlo{g}^{2}n)$。
这题难点还是在求解问题的转化上。搞清楚后，很容易。
（因为这题结合别的大佬们的题解理解了好久，把一些自己想错的问题都写了，所以比较长，还有一些证明和理解也是自己瞎想的，如有不对的话，还请读者留言区指正，感谢）

#defien int long long
const int N=1e5+5;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-8;
const int MAXL = 60;
int n,k;
int a[N];
std::vector<int> G[N];
const int maxn = 6e6+10;
const int p = 998244353;
int Pow(int x,int d)
    int tans = 1;
    if(d == 0)return 1%p;
    int a = Pow(x,d/2);
    tans = 1ll*a*a%p;
    if(d%2)tans = 1ll*tans*x%p;
    return tans%p;

typedef vector<int> Poly;//多项式定义
int F1[maxn],F2[maxn];
int rev[maxn];
void NTT(int * A,int lim,int opt) 
    int i, j, k, m, gn, g, tmp;
    for(int i = 0; i < lim; ++i)rev[i] = (i & 1)*(lim >> 1) + (rev[i >> 1] >> 1);
    for(i = 0; i < lim; ++i)if (rev[i] < i) swap(A[i], A[rev[i]]);
    for(m = 2; m <= lim; m <<= 1) 
        k = m >> 1;
        gn = Pow(3,(p - 1) / m);
        for(i = 0; i < lim; i += m) 
            g = 1;
            for (j = 0; j < k; ++j, g = 1ll * g * gn % p) 
                tmp = 1ll * A[i + j + k] * g % p;
                A[i + j + k] = (A[i + j] - tmp + p) % p;
                A[i + j] = (A[i + j] + tmp) % p;
            
        
    
    if(opt == -1)
        reverse(A+1,A+lim);
        int inv = Pow(lim,p-2);
        for(i = 0; i < lim; ++i) A[i] = 1ll * A[i] * inv % p;
    

Poly operator + ( const Poly &A,const Poly &B)
    int n = A.size() , m = B.size();
    int siz = max(n,m);
    Poly C(siz,0);
    for(int i=0 ;i<siz ;i++)
        if( i <n && i < m) C[i] = (A[i] + B[i])%p;
        else if( i < n ) C[i] = A[i];
        else C[i] = B[i];
    
    return C;

Poly mul(const Poly & A,const Poly & B)
    int n = A.size(),m = B.size();
    int siz = n + m - 1;
    Poly C(siz);
    if(siz < 64)//小于等于64项直接暴力算
        for(int i =以上是关于21年icpc上海区域赛B题Strange Permutations (容斥+生成函数)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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