02=递归算法原理与实现

Posted 2022-10-16 伤心兮

一、递归

1.1原理

• 是调用自身函数的一种算法。
• 如计算n的阶乘，f(n)=$1\times 2\times 3\cdots n$，可以使用for循环，也可以使用递归方式来实现，其代码如下：

def fun(x):
	if(x==0) or (x==1):
		return 1
	else:
		return n*fun(x-1)

• 其调用结果$$\begin{array}{rl}fun(4)& =4\times fun(3)\\ & =4\times 3\times fun(2)\\ & =4\times 3\times 2\times fun(1)\\ & =4\times 3\times 2\times 1\\ & =24\end{array}$$递归的本质就是调用和返回，且必须存在终止条件。其内部运行如图所示，

• 在本例中其时间复杂度为O(n)，和for循环时间复杂度相同。

1.2 例子

1.2.1 斐波那契

• 指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义 F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)

def fun(x):     # O(2^n) # 递归问题
    if x==0 or x==1:
        return 1
    else:
        return fun(x-1) + fun(x-2)

1.2.2 汉诺塔游戏

1.2.2.1. 问题描述

• 在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，任何时候，在小圆盘上都不能放大圆盘，且在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。最终可以递推为：假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(n)=2*f(n-1)+1。

1.2.2.2. 问题分析

• n=2时
  1. 将圆盘1从A移动到B
  2. 将圆盘2从A移动到C
  3. 将圆盘1从B移动到C

	第一步
第二步	第三步

• 为n时，利用递归思想，将最上n-1看成一个整体。也阔以分为三步。
  1. 将n-1个圆盘从A移动到B
  2. 将圆盘n从A移动到C
  3. 将n-1个圆盘从B移动到C

def hanno(n, a, b, c):
    if n > 0:
        hanno(n-1, a, c, b)    # 将n-1个圆盘从A移动到B
        print('%s->%s' % (a, c)) # 将圆盘n从A移动到C
        hanno(n-1, b, a, c) # 将n-1个圆盘从B移动到C

hanno(3, 'A', 'B', 'C')