算法和算法分析

Posted 2022-09-14 sanweizuiji

1 算法的定义、特性

1.1

例 算法代表对问题求解步骤的描述，而程序则是算法在计算机上的特定实现

例 衡量一个算法的优劣主要考虑（正确性、可读性、健壮性、时间复杂度、空间复杂度）

1.2 算法的5个重要特性

有穷性、确定性、可行性、输入、输出

2 时间复杂度

2.1 代码

例

int func(int n) 
    int i = 0, sum = 0;
    while (sum < n) 
        sum += ++i;
    
    return i;

① 设 while 的执行次数为 k 次

② 找规律

执行第 1 次时，i = 0，sum = 0

执行第 2 次时，i = 1，sum = 0 + 1

执行第 3 次时，i = 2，sum = 0 + 1 + 2

执行第 k 次时，i = k - 1，sum = 0 + 1 + 2 + . … + ( k - 1 )

③ 综上得出等式

$$0+1+2+...+(k-1)=n$$

$$\frac{k(k+1)}{2}-1=n$$

④ 解出时间复杂度

$$O(n)=n^{\frac{1}{2}}$$

例

int x = 0;
while (n > (x + 1) * (x + 1)) 
	x = x + 1;

① 设 while 的执行次数为 k 次

② 找规律

执行第 1 次时，x = 0

执行第 2 次时，x = 1

执行第 3 次时，x = 2

执行第 k 次时，x = k - 1

③ 综上得出等式

$$(k-1+1)\ast (k-1+1)=n$$

$$k^2=n$$

④ 解出时间复杂度

$$O(n)=n^{\frac{1}{2}}$$

2.2 递归方程

例 一个算法所需时间由下述递归方程表示，试求出该算法的时间复杂度的级别（或阶）（式中，n是问题的规模，为简单起见，设n是2的整数次幂）

$$T(n)=\begin{array}{c}1,n=1\\ 2T(n/2)+n,n>1\end{array}$$

① 设

$$n=2^k$$

②

$$T(2^k)=2T(2^{k-1})+2^k=2^{2}T(2^{k-2})+2\times 2^k$$

$$T(2^k)=2^{i}T(2^{k-i})+i\times 2^k$$

$$T(2^k)=2^{k}T(2^0)+k\times 2^k$$

$$T(n)=2^{lo{g}_{2}n}+(lo{g}_{2}n)\times n=n+(lo{g}_{2}n)\times n=n(1+lo{g}_{2}n)$$

③ 解得

$$O(nlo{g}_{2}n)$$

2.3 其他

例

已知两个长度分别为m和n的升序链表，若将它们合并为长度为m+n的一个降序链表，则最坏情况下的时间复杂度是（）

A. O(n)

B. O(mn)

C. O(min(m,n))

D. O(max(m,n))

① n链表中5比较了三次，8比较了三次，10比较了三次，13比较了三次，一共是4+6-1=9次

② 但是，答案中并没有O(n+m-1)或O(n+m)这个选项

注：当n和m无限大的时候，-1忽略掉

这里就需要提醒的是，时间复杂度是一个级数概念，即O(2n)，O(n+1000)，,O(n-50)，都是属于O(n)这个级别（范畴）

并且是一个线性变化的常数项级，同理O(m)也一样

包括取大去小原则

如果一个算法的时间复杂度是n3＋n2+n+1

那么算法复杂度是O(n3)

回到题目，如果我们以链表m长度远大于链表n的情况下来看，那么在相互比较的情况下，O(m+n)是否可以看成O(m)

？同理，如果我们以链表n长度远大于链表m的情况下来看，O(m+n)是否可以看成O(n)？

那么结论就是：O(m+n)==O(max(m,n))

当然也可以用夹逼定理去说明这个结论

O(max(m,n))≤O(m+n)≤2O(max(m,n))

2O(max(m,n))还是属于O(max(m,n))这个级别

所以可证：O(m+n)==O(max(m,n))