水塘抽样算法与等概率证明

Posted 2022-09-10 白龙码~

文章目录

• 水塘抽样
• • 一、一般的抽样算法
  • 二、水塘抽样算法
  • • 1、抽样过程
    • 2、等概率证明
    • 3、水塘抽样的优势
  • 三、算法练习

水塘抽样

一、一般的抽样算法

对于数据流中的数据，我们将其存储到容器中，并使用随机数取出[0, n)的任意一个元素，完成等概率抽样。

该算法的时间与空间复杂度均为O(n)。

• 优点：简单易实现
• 缺点：数据量过大时，将所有数据存入容器会有内存溢出问题。

二、水塘抽样算法

水塘抽样算法用于：在数据流中以O(n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度完成等概率抽样。

1、抽样过程

对于数据流中的第i个数，它有 1/i 的概率被替换为本轮随机抽样的结果：

int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i)

    if (rand() % i == 0) // 1/i的概率
        ans = array[i];

return ans;

2、等概率证明

水塘抽样的算法实现也非常简单，现在给出其证明过程：

假设第i个值被抽取，则[i+1, n]都没有被抽取，即：
$$\begin{array}{rl}P(第i个被抽取)& =1/i\ast P(第i+1个没被抽取)\ast ...\ast P(第n个没被抽取)\\ & =1/i\ast i/(i+1)\ast (i+1)/(i+2)\ast ...\ast (n-1)/n\\ & =1/n\end{array}$$

3、水塘抽样的优势

1. 不需要预先知道数据总量为多少。
2. 空间复杂度为O(1)。

三、算法练习

LeetCode 382. 链表随机节点