数学笔记；离散傅里叶变化 DFT

Posted 2022-09-09 UQI-LIUWJ

1 原理介绍 

• 离散傅里叶变化是连续傅里叶变化在如下信号下的等价形式：
  • N个样本
  • 每个样本的采样间隔是T
• 令f(t)是数据源的持续信号，将N个样本表示成f[0],f[1],f[2],.....f[k],....f[N-1]
  • ——>原始数据源信号f(t)的傅里叶变换，应该是

   

• 因为信号脉冲仅在样本点采集，所以可以如下近似：
• 

 

• 这里，DFT假设波形是周期性的（周期正好是T个interval的跨度）
  • 也就是这里我们是从0到N-1采样的f(0)到f(N-1)，和从N到2N-1采样得到的f(N)到f(2N-1)是一样的
  • 比如我们采样了10个点（0~10），那么DFT会隐式地人为周期就是10

   

• 所以上式中的ω被表示为：

• 所以离散傅里叶级数可以表示为：

   

• 上式可以被重写成： 

 1.1 欧拉公式 （复习）

 

 

 2 举例

令连续信号为：

采样k=0~k=3 四个点，得到f[0]=8,f[1]=4,f[2]=8,f[3]=0

于是 

可以写成：

用矩阵的形式，可以写成

              

              

4 逆傅里叶变化 

的逆傅里叶变化是：

 

 如果这里令的话，那么逆傅里叶变化的矩阵形式为

 4.1 举例

还是用前面一个例子

已知F[0]=20,F[1]=-4j,F[2]=12,F[3]=4j

希望得到：f[0]=8,f[1]=4,f[2]=8,f[3]=0