欧拉公式的简单证明

Posted 2022-08-27 算法与编程之美

 什么是欧拉公式

在数学中，sin函数和cos函数是最近乎完美的周期函数，e是自然对数的底，i是数学界中唯一一个平方为负的数字，这几者一般很少有联系，而欧拉公式则很完美的将它们联系在了一起，且关系简单明了：

图1 欧拉公式

相信很多人第一眼看到这个公式会觉得不可思议，三角函数怎么会和指数函数有这么直接的关系，现在不妨来看看它的一个简单证明。

欧拉公式的证明

学过高数中泰勒展开式的人应该很熟悉下面这个表达式，这是一般函数的泰勒展开式，

图2 一般函数的泰勒展开式

e的x次方这个函数的泰勒展开式也可以通过上述表达式得到：

图3 ex泰勒展开式

同理sin（x）和cos（x）的泰勒展开式如下：

图4 sin函数和cos函数的泰勒展开式

将sin（x）和cos（x）的泰勒展开式相加的时候会得到下面的式子：

观察上述式子，可以发现它已经和e的x次方的泰勒展开式相差不大了，只是有一些地方存在符号的差异，仔细观察可以发现，cos（x）的泰勒展开式中除了x的0次幂项也就是第一项和x的4的倍数次幂的项符号为正，其余为负。针对这个规律，可以采取对e的x次方变号的方法。对于一般的变号方法，采取的是在变量x前面乘以一个-1，但是-1的特点是偶次幂为正，奇次幂为负，无法达到想要的效果，那么是否存在一个数字满足4的倍数次幂的项符号为正呢？答案是存在这样一个数字，他就是虚数单位i，于是，将e的x次方变成e的ix次方后得到新的泰勒展开式：

再次观察这个新式子，可以发现在x的奇次幂项的位置多了一个i，而这些奇次幂正好可以由sin（x）乘以i组成，得到新的泰勒展开式：

现在将（2）式和（3）式相加可以得到：

欧拉公式的特殊形式

特别的，当x=Π时，欧拉公式可以简写为e的iΠ次方-1=0，这个式子也被人们称为最完美的公式，它将自然对数的底数e、虚数单位i、和1完美的结合在一起，向世人阐述了数学的魅力。