泰勒公式（泰勒展开式，泰勒中值定理）使用基本技巧

Posted 2022-08-23 广州接入



泰勒系列公式在计算中占有很重要的位置，比如计算近似值，极限等。泰勒公式在实际应用中需要特别注意的是一定要使得收敛到某个数，用得最多的是使其展开式高阶部分加速趋于零，如果在展开后高阶不能趋于零（定值），则展开往往没有意义，因为泰勒展开的目的是可以利用高阶无穷小来达到舍弃一些项，从而简化计算。这里我们可以分析一下上式:1)(n+1)!，一般我们在舍弃时，n都不可能取很大，因此这一项一般情况下只能作为常数考虑，不能作为舍弃的依据；(x-x0），这一项随着n的增大，如果|x-x0|>1，则不容易能被舍弃，如果|x-x0|/(n+1)!，不能趋于0，则基本不能作为舍弃项，因此一般情况下，我们需要使得|x-x0|小于1，这样，在n比较小的时候，就可以使得整个式子可以被舍弃；当然，也要考虑到n+1阶导数项值，但由于我们在应用中多半为了便于计算导数，选取的值都比较特殊，比如0，或者1之类的，也不适合作为高阶无穷小的部分。综合上述，我们在对函数进行泰勒展开时，一般情况下，应尽量确保|x-x0|<1，举个简单的例子，在计算30的立方根时，如果选择函数f(x)=x^1/3,就达不到预期目的，而选取f(x)=3(1+x)^1/3,则就比较容易达到目的.因此在实际应用中，可以通过简单的变量替换，使得展开式的余项尽可能小。

后记：利用泰勒中值定理或者叫泰勒公式进行函数展开的一个好处，其实是将一些难于计算的函数式，比如幂函数(a^x)，对数，三角函数或者方根等复杂的函数式，转化为自变量的整数幂次计算，虽然n阶导数有可能还是复杂函数，但通过取特殊的x0，比如0,1（最常用的，还有-1，e等，这种x0为数不多），n阶导数在x0 处的值很容易获得，从而就达到了这个转换的目的；当然，我前面提醒过，转换时一定要让x-x0的绝对值小于或等于1，否则转换虽然没问题，但不一定能达到目的。比如x趋于无穷大，则可以取y=1/x(注意定义域),等价于y趋于0，如果x-x0大于1，则可以先提一个常数因子等。当然，在利用泰勒公式求极限的时候，还可以利用等价数列来简化计算。

后记2：这里的x-x0项小于1，并不是绝对的，如果余项整体可以很容易判断趋于0或者某个常数，当然最好。如果不能的时候就需要利用上面所说的进行简单的变换处理。