Block Bootstrap方法简介

Posted 2021-04-29 郭老师统计小课堂

注：本文是余成对Block Bootstrap方法的简介

在之前的内容中，我们介绍了Bootstrap的主要思想和实现方法。但由于其重抽样过程中对数据独立同分布的假定，该方法并不能直接应用于时间序列等相关数据的分析。为了保留数据中的相关性，在本节中我们将介绍一类特殊的Bootstrap方法——Block Bootstrap。

1. Moving Block Bootstrap

Moving Block Bootstrap 最早是由Kunsch（1989）和Liu and Singh（1992）提出，其基本思想是根据数据的先后顺序将其划分为可重叠的若干个block，然后有放回地抽取固定长度的block中的所有数据组成新的样本，用该样本来估计感兴趣的参数。

我们以下图为例来说明Moving Block Bootstrap（MBB）的具体流程。假设原始数据由 1 – 9 组成，且令 block size = 3。MBB 依次以序列中的每个数字为起点构建长度为 3 的 blocks（本例中一共 7 个），然后从这 7 个 blocks 中有放回的随机抽取，直至构成和原始序列长度一样的 bootstrapped sample。

2. Circular Block Bootstrap

由上面的图片可知，虽然MBB方法采用了有放回的等概率抽样，但由于block的存在而使得数据首尾两端的样本被抽中的概率低于中间部分的样本，进而影响统计量的估计。为了解决这一问题，Politis and Romano（1992）提出了Circular Block Bootstrap（CBB）的方法。顾名思义，该方法将原始数据首尾相接形成一个环（circle），然后按照设定的block size进行抽样，从而确保在每次抽样中所有数据都具有相同的入样概率。然而值得注意的是，在实际操作中是否可以将观测数据的首尾相连，需要根据数据的产生机制和相应时间节点综合分析判断。

3. Stationary Bootstrap

不同于上面的MBB和CBB均具有固定的block size，由Politis and Romano（1994）提出的Stationary Bootstrap（SB）方法使用了非固定的block size。在SB中，其假定block size满足几何分布 ，其中 表示抽出的第 个block的block size， 为几何分布的参数，需要提前设定。与MBB和CBB相比，该方法产生的样本可以更好的满足平稳性的要求，从而在原始数据不满足平稳性时具有更好的效果。此外，相比MBB和CBB需要设置的参数block size，SB方法对于需要设置的参数 更加稳健（Boris and Aleksandra，2014）。

关于Block Bootstrap中参数block size的最优估计可以参考Politis and White（2004）。该重抽样方法可以采用R软件中的“tsbootstrap”函数进行实现。

参考资料

• Kunsch, H. R. (1989). The jackknife and the bootstrap for general stationary observations.The Annals of Statistics, Vol. 17(3), 1217 – 1241.
• Liu, R. Y. and K. Singh (1992). Moving blocks jackknife and bootstrap capture weak dependence. In Exploring the Limits of Bootstrap (R. Lepage and L. Billard, eds.), 225 – 248. Wiley, New York
• Politis, D. N. and J. P. Romano (1992). A circular block resampling procedure for stationary data. In Exploring the Limits of Bootstrap (R. Lepage and L. Billard, eds.), 263 – 270. Wiley, New York
• Politis, D. N. and J. P. Romano (1994). The stationary bootstrap. Journal of the American Statistical Association, Vol. 89(428), 1303 – 1313.
• Radovanov, B. and Aleksandra Marcikić. (2014). A comparison of four different block bootstrap methods. Croatian Operational Research Review, 5(2), 189-202.
• Politis, D. N. and White, H.  (2004). Automatic block-length selection for the dependent bootstrap. Econometric Reviews, 23(1), 53-70.
• 知乎专栏：川流不息

注：文中图片来自网络，对原作者表示感谢！