彻底理解 softmax、sigmoid、交叉熵（cross-entropy）

Posted 2023-03-17

参考技术A sigmoid 函数也叫S函数，因为它的函数曲线的形状像字母 S，由此得名。其形式为：

sigmoid 函数的输入是一个标量，输出也是一个标量，是一个标量到标量的映射。从函数曲线或函数表达式可以看出，sigmoid 函数的定义域为全体实数 ，值域为 (0,1) 区间，由此可以发现，sigmoid 函数能够起到将任意数值放缩到 (0,1) 区间内部。sigmoid 函数过去经常作为神经网络的激活函数，这是因为一方面 sigmoid 函数能够将那些过大或过小的数值缩放到 (0,1) 区间内部，同时还可以保持其相对大小；另一方面 sigmoid 函数的导数 ，可以发现 sigmoid 函数的导数可以由 sigmoid 本身直接得到，这个特性使得 sigmoid 函数在神经网络的反向传播过程中的求导十分容易。然而现在更常用的激活函数是形式更为简单的 ReLU 函数 。

值得一提的是，sigmoid 函数的原函数叫做 softplus 函数，其形式为：

softplus 函数的值域为 ，可用来产生正态分布的均值 和标准差 ，softplus 函数的名字来源于 函数的平滑形式。

softplus 函数的导数是 sigmoid 函数 。

softmax 函数，顾名思义是一种 max 函数，max 函数的作用是从一组数据中取最大值作为结果，而 softmax 也起到类似的作用，只是将这组数据进行一些处理，使得计算结果放缩到 (0,1) 区间内。

softmax 函数首先将这组数据中的每一个值 都转换为自然对数 的指数，即 ，随后将每个转换后的数据 都除以所有转换后数据的和 ，即 ，就是 softmax 对数据 的输出结果。这里需要注意的是，softmax 的作用是将一组数据的每一个都转换到 (0,1) 区间内，输入是一个向量，输出也是一个向量，是一个从向量到向量的映射；而 max 函数是将一组数据中的最大值作为输出，输入是一个向量，输出则是一个标量（一个数），是一个从向量到标量的映射，max 函数将输入数据的维度进行了压缩。

softmax 函数可视作 sigmoid 函数在向量上的扩展形式。sigmoid 函数的输入为一个标量，作用是将其放缩到 (0,1) 区间内，而 softmax 的输入为一个向量，输出也是一个向量，作用与 sigmoid 相同，只是 softmax 函数会保持这个向量内每个分量互相之间的相对大小（分量小的在 softmax 后依然小，分量大的在 softmax 后依然大）。考虑一个 2 维向量 ， ， ，当 时， ，其形式与 sigmoid 函数一致。

交叉熵 函数是用于计算两个概率分布之间的差异，其输入为两个分布，输出为一个标量，该标量表示两个分布之间的差异程度。交叉熵的形式为：

这里需要注意的是，在交叉熵函数中，交换分布 p 和 q 的顺序会影响交叉熵函数的输出结果，因为交叉熵函数 的作用是以分布 p 为基准，对分布 q 进行评估，将其交换顺序会导致评估的基准不一致， 与 的意义并不相同。

在深度学习中，经常将交叉熵函数与 softmax 函数相关联，这是因为 softmax 函数对一组数据的每个数据进行计算后，可以将这组数据中的每一个都映射到 (0,1) 区间上，并且其和为 1，符合概率的定义，而交叉熵恰恰是对概率分布进行计算，因此通常将 softmax 函数的输出结果作为交叉熵函数的输入，将二者构造为复合函数。

在深度学习的训练过程中，通常将每个输入的真实标签值设置为分布 p，预测值设置为分布 q，利用交叉熵函数计算出的值作为损失值，将其用于后续的反向传播计算梯度并更新权重。在这里，设 softmax 函数对输入数据 预测为第 类的概率为 ，输入数据 属于第 类的真实概率为 ，那么交叉熵函数的形式为：

根据以上公式，对模型预测的第 类的导数为：

softmax 函数对输入的导数的形式可由 softmax 本身得到，其形式十分简单（由于自然对数 的存在）：

将 softmax 函数的输出作为交叉熵函数中的概率 ，即 ，那么交叉熵函数对 softmax 函数的输入 的导数为：

由于这里将 softmax 函数视作 p，即：

将 softmax 用 p 代替，也就是将 替换为 ：

最后将上式代入到交叉熵函数的导数 中，即可得到交叉熵函数对输入 的导数：

可以看到交叉熵函数与 softmax 函数结合使用，可以得到十分简洁的导数形式，只需将 softmax 的输出结果减 1 再与对应的标签值 相乘即可得到在第 类上的导数，对每个类别分别计算相应的导数，即可得到我们需要的梯度。在许多任务中，标签值往往用 one-hot 形式表示， 一般为 1，那么只需将 softmax 函数的计算结果减 1 即可得到本次传播的第 类的导数值，这使得反向传播中梯度的计算变得十分简单和方便。

具有对数损失的 TensorFlow 单 sigmoid 输出与具有稀疏 softmax 交叉熵损失的两个线性输出，用于二进制分类

【中文标题】具有对数损失的 TensorFlow 单 sigmoid 输出与具有稀疏 softmax 交叉熵损失的两个线性输出，用于二进制分类

【英文标题】：Tensorflow single sigmoid output with log loss vs two linear outputs with sparse softmax cross entropy loss for binary classification

【发布时间】：2018-05-23 04:40:33

【问题描述】：

我正在尝试在 TensorFlow 中实现二进制分类器。如果我在最后一层有两个普通输出（即没有激活）并使用tf.losses.sparse_softmax_cross_entropy，我的网络会按预期进行训练。但是，如果我将输出层更改为使用tf.sigmoid 激活生成单个输出并使用tf.losses.log_loss 作为损失函数，我的网络不会训练（即损失/准确性没有提高）。

这是我的输出层/损失函数在第一个（即工作）案例中的样子：

out = tf.layers.dense(prev, 2)
loss = tf.losses.sparse_softmax_cross_entropy(labels=y, logits=out)

在第二种情况下，我有以下内容：

out = tf.layers.dense(prev, 1, activation=tf.sigmoid)
loss = tf.losses.log_loss(labels=y, predictions=out)

张量y是0/1值的向量；它不是单热编码的。在第一种情况下，网络按预期学习，但在第二种情况下则不然。除了这两行之外，其他一切都保持不变。

我不明白为什么第二个设置不起作用。有趣的是，如果我在 Keras 中表达相同的网络并使用第二种设置，它就可以工作。在第二种情况下，我是否使用了错误的 TensorFlow 函数来表达我的意图？我想产生一个单一的 sigmoid 输出并使用二元交叉熵损失来训练一个简单的二元分类器。

我正在使用 Python 3.6 和 TensorFlow 1.4。

Here 是一个小型、可运行的 Python 脚本，用于演示该问题。请注意，您需要从 Kaggle 下载 StatOil/C-CORE 数据集才能按原样运行脚本。

谢谢！

【问题讨论】：

我也遇到了同样的问题。 Sigmoid 和 log_loss 在 keras 中有效，但在 tensorflow 中没有学习发生。但是， sparse_softmax_cross_entropy 似乎有效。你找出问题所在了吗？

很遗憾没有。我仍然有兴趣了解我们为什么会看到这个问题。

【参考方案1】：

在两个输出上使用sigmoid 激活不会给出概率分布：

import tensorflow as tf
import tensorflow.contrib.eager as tfe
tfe.enable_eager_execution()

start = tf.constant([[4., 5.]])
out_dense = tf.layers.dense(start, units=2)
print("Logits (un-transformed)", out_dense)
out_sigmoid = tf.layers.dense(start, units=2, activation=tf.sigmoid)
print("Elementwise sigmoid", out_sigmoid)
out_softmax = tf.nn.softmax(tf.layers.dense(start, units=2))
print("Softmax (probability distribution)", out_softmax)

打印：

Logits (un-transformed) tf.Tensor([[-3.64021587  6.90115976]], shape=(1, 2), dtype=float32)
Elementwise sigmoid tf.Tensor([[ 0.94315267  0.99705648]], shape=(1, 2), dtype=float32)
Softmax (probability distribution) tf.Tensor([[ 0.05623185  0.9437682 ]], shape=(1, 2), dtype=float32)

您也可以在单个 logit 上使用 tf.sigmoid 而不是 tf.nn.softmax，然后将另一个输出设置为减去该值。

【讨论】：

我没有在两个输出上使用tf.sigmoid。我在单个输出上使用它并使用tf.losses.log_loss 计算损失。

哈，没错。所以tf.losses.log_loss 需要一个单热编码向量，但这与标量分布情况的稀疏标记相同。但问题是什么？ tf.losses.log_loss(labels=[[label]], predictions=[[prediction_scalar]]) 等同于 sparse_softmax_cross_entropy(labels=[[label]], logits=[[1. - prediction_scalar, prediction_scalar]]) 和 label in [0, 1]。