最短路径算法之Dijkstra算法

Posted 2021-04-28 Python那些事

定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的权值为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

具体实例

下面以图为例看一下具体流程：

设原节点为1，求1到各个节点的最短路径：

由于节点4到1的距离最小，所以4加入S中。

由于2到1的距离最小，所以2加入S中。

由于节点6到1的距离最小，所以6加入S中。

由于节点7到1的距离最小，所以7加入S中。

由于节点5到1的距离最小，所以5加入S中。

由于节点3到1的距离最小，所以3加入S中。

8加入S中。

由此求得了到各个顶点的最短路径。

Python代码

有了上述分析，上述实例的Python代码如下：

# coding:utf-8
# Dijkstra算法——通过边实现松弛
# 指定一个点到其他各顶点的路径——单源最短路径

# 初始化图参数
G = {1: {1: 0, 2: 2, 4: 1, 6: 3},
     2: {2: 0, 3: 6, 5: 5},
     3: {3: 0, 8: 6},
     4: {2: 10, 4: 0, 7: 2},
     5: {5: 0, 3: 9, 8: 4},
     6: {6: 0, 4: 5, 7: 4},
     7: {2: 7, 5: 3, 8: 8, 7: 0},
     8: {8: 0}}


# 每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为重心进行扩展
# 最终的到源点到其余所有点的最短路径
# 一种贪婪算法

def Dijkstra(G, v0, INF=999):
    """ 使用 Dijkstra 算法计算指定点 v0 到图 G 中任意点的最短路径的距离
        INF 为设定的无限远距离值
        此方法不能解决负权值边的图
    """
    book = set()
    minv = v0

    # 源顶点到其余各顶点的初始路程
    dis = dict((k, INF) for k in G.keys())
    dis[v0] = 0

    while len(book) < len(G):
        book.add(minv)  # 确定当期顶点的距离
        for w in G[minv]:  # 以当前点的中心向外扩散
            if dis[minv] + G[minv][w] < dis[w]:  # 如果从当前点扩展到某一点的距离小与已知最短距离
                dis[w] = dis[minv] + G[minv][w]  # 对已知距离进行更新

        new = INF  # 从剩下的未确定点中选择最小距离点作为新的扩散点
        for v in dis.keys():
            if v in book: continue
            if dis[v] < new:
                new = dis[v]
                minv = v
    return dis


dis = Dijkstra(G, v0=1)
print dis.values()

今天，你学会了最短路径算法Dijkstra算法了吗？