蚂蚁很忙——几何体中的最短路径

Posted 2021-04-28 初中数学小魔方

      在数学的世界里，有一只蚂蚁它很忙．它一会儿在立方体、长方体的表面爬行，一会儿又在圆柱、圆锥侧面爬行；数学世界里的这只蚂蚁很聪明，它爬行的目标明确，从不晕头转向，总是在寻求达到终点的最短路径，不信你来看一看！

例1

在棱长为1的立方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃另一个顶点C'处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）

从A点出发，蚂蚁可以选择前面、下面、左面爬行，而到达这些面之后要继续到点C'处，分别还有两种选择，所以一共有6种爬行的路径．如图所示：

根据上题分析，蚂蚁从A点到达C'点，一共有6种路径，将不同的面展开放在同一平面内，由于前面和后面，上面和下面，左面和右面均全等，所以可以将6种合并成3种．

例2

如图，长方体的长是30cm,宽为40cm，高为50cm，点M是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到点M，则爬行的最短路径长______cm.

我们发现，有了这个结论，我们根本不需要重起炉灶．在你勤勤恳恳地表面展开，分类讨论得不亦乐乎时，人家三秒钟就搞定了这个填空．你是不是感觉落差很大？所以大家不妨把这个结论记起来，再充分利用转化思想，当然，所有的记忆必须在理解的基础哦！

      蚂蚁爬行最短路径问题体现了重要的数学思想．从立体到平面，将复杂的空间问题转化成简单易解决的平面问题，最终归结为 “两点之间线段最短” 的数学基本事实，很好的体现了转化思想．转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想．它无处不在，如未知向已知的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、多元向一元的转化等等．当然，在爬行的路线选择上，也体现了分类讨论的思想，我们在生活中也常用到分类的思想．

      怎么样？蚂蚁在长方体表面爬行的最短路径你搞清楚了吗？

思考题

杜登尼(Dudeney,1857~1930年)是19世纪英国知名的谜题创作者．“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上，它是杜登尼最有名的谜题之一．

问题：在一个长、宽、高 分别为3米，2米，2米的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的中间,离天花板0.1米处(A点处)，苍蝇在对面墙的中间,离地面0.1米处(B点处).试问，蜘蛛去捉苍蝇需要爬行的最短路程是多少?

End

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