培养孩子数学兴趣（10）最短路径问题

Posted 2021-04-28 黄岛主的世界

前天有学生问我这道高中的数学问题，关于椭圆的，这道题并不常见。若是用普通的求解方法，可能要去设椭圆，求切点，再求切点到两个焦点的距离，弄得很麻烦。于是我想起了一个初中数学关于最短路径的问题，很快就解出来了。好，我们先来看最短路径问题以及它的各种变式。

最短路径问题可以这样描述：一条笔直的河边，有个人牵着一匹马在A点，想到河边饮马，然后再回到B点，问怎样走从A到B的总路程会最短？这个是初二对称原理的内容，也是小学生竞赛的内容。做B的对称点B'，然后连接AB'，交河边于P点，那么P点就是所求的饮马点，当然AP,PB走直线。可以结合对称原理和三角形两边和大于第三边加以证明。

这道题可以变一变，可以弄一个互相垂直的两条河边，饮马过程从A点出发先要到竖直的河边，再到水平的河边，最后回到B点，这样要确定两个饮马的位置P和Q，很显然，需要把A和B分别对称，然后直线连接，得到直线与河边的交点即所求P、Q两点。

还可以是如下造桥问题，虽然可能和对称关系不大，但是这个处理方法已经多次在中考压轴题当中见到。问题是从A村庄到B村庄隔着一条笔直且宽度处处相等的小河，要在河上造一座桥，使得A村到B村的路程最短。当然出于成本和结构的考虑，桥是垂直于小河边的。

解决方法是把A点垂直向小河靠近一个河岸的宽度得到A'点（图中忘了标）。然后直接连接A'B得到P点，之后PQ就是造桥位置。原理从图中很容易得到。

再有一个变式就是下图中A、B两点位于直线l同侧，要在l上找一个点P，使PA与PB的差最小。答案就是连接AB交直线l于P，P点就是所求的点。

有这样一道函数求极值的问题，如下。乍一看无从下手，但是实际明白了两个根号和代表距离和之后，你会茅塞顿开。

最后解释下，开头的那道高中题，看看如何与一个最短距离和的原理联系在一起。画出如下的图，直线固定的，且与椭圆有且仅有一个交点，那么该点就是切点。直线上所有的点中，唯有该切点到椭圆两个焦点的距离和是最小的。那么问题就变成在直线上找一点，到F1和F2的距离的和最小。剩下就是一些几何的小问题了。

高中椭圆问题，利用初中最短路径问题很简单地解决了，真的是一个意外的惊喜！可见各种知识融会贯通加以联想是多么的重要。