拉网小调：寻找最短路径 | 前期内容解答

Posted 2021-04-28 数学教学研究

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寻找最佳路径 | 前期内容解答

你发现没有，最近一段时间以来的很多期内容，都涉及用物理方法与数学的联系，机械装置与数学的关系，等等。比如：

《培根说过：数学让人精细》——物理模型摸拟数学中正三角形与正方形转化拼接问题。

《我画圆，却也画出了直线》——用到机械连杆装置演示数学中的反演概念。

《费马点与学校选址问题》——用到力学中的势能最小原理进行学校选址。

本期介绍一种物理方法或叫实物方法，用它来寻找最短路径。这种方法在比较简单的情况下可以尝试一下，很有新意，但有些费时。如果有那么多时间，最长路径也走完了。这个方法在现代社会已不实用了，我们有导航系统了。但什么叫最短，本题是一个很好的实物模拟，仍然是很有创意的。也说不好什么地方会用到这个思路解决其他什么问题呢。我们暂且用一首日本民歌《拉网小调》形容我们的这种方法。（我对比听了不同的演唱版本，比较喜欢胡松华演唱的。）

从地图左上角的A地要去地图右下角的B地。这之间要穿过很多的道路，若用计数原理计算的话，可能会有很多种走法。如何选择一条最短路径，看来不是很容易。

我把地图平铺在一块木板上，固定住不让它移动。在A地和B地钉上钉子，然后在可能经过的交叉路口也钉上钉子。钉子与钉子之间有路相连时，就用绳子相连。注意一定要绷紧。只要有路相连就要用绳子连接。把每一段绳子都染以不同的颜色，用手机拍照下来。每个钉子处都可能会连接有几根绳子。最终我们是要把钉子取走的，但每个钉子取走时，需要把这个钉子处连接的几条绳子的端点连接在一起成为固定的结点（死结）。最后，就相当于“织”成了一张网。

然后，我们一手抓住A端，另一手抓住B端，把网拉紧（可以边拉边唱“拉网小调”，嘿嘿），那么，一定会有几段绳子是绷紧的。用手机拍照下来，主要是把绷紧的几段绳子的颜色拍照下来。那么， 我们说，绷紧的那几段绳子原来对应的线路就是最短路径。

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前面有几期问题的答案。

1.《》：可以从菱形ABCO的中心G1开始，连接G1和D，得到G2，......，再连接...，得到G3，......，G4，......，G5，......下图中标以红色、橙色、黄色、绿色、青色、蓝色、......线段的长度，就分别等于a/2，a/3，a/4，a/5，a/6，a/7，...... 可以无限进行下去。好的，请名为“Xness”的朋友阅读，您问过这个题目怎么解。

2.《》：六等分圆周，这个不难。于是得到6个等分点，依次为A，B，C，D，E，F。那么，相隔一个点的两个等分点（比如隔着点F的两个等分A和E）的距离是半径的“根号3”倍。分别以点A和点D为圆心，以A与E之间的距离（这里必须说"A与E的距离"，而不能说AE，因为不能用直尺，无法连接成线段）为半径作圆，得到某一交点G。那么，以A，O，G三点为顶点可以构成一个直角三角形（虽然我们不能画出），则O与G的距离就是根号2。最后，以A为圆心，以O与G的距离为半径作圆，交圆O于点H。这个点H就是我们所要找的四等分点。与它关于点O对称的点可以同样找到。注意，我们没有直尺，不能连接点G和点O，也就不能做到 “线段与圆相交得到交点 ”。

3.《 》：106个。4*9+7*10=36+70=106。这是最多的了。

今天收到上海的朋友沈老师在微信中发来的照片，照片所摄是沈老师在22年前于《数学教学》杂志（华东师范大学主办）上发表的与本题类似的论文《矩形内部切割圆数目浅探》。论文研究的问题是一个实际问题，即在一块1m×2m的矩形铅板上要切割出半径为15cm的圆形铅片，问怎样裁得最多。这个实际问题与本题是一类问题。数学研究空间，数学成果却是跨越时空的。沈老师22年前在纸质媒体中发表的数学论文，穿越22年的时空，与我这个22年后的微信媒体产生了联接和对话。又有像您一样的广大读者穿越空间在读本篇内容。是数学把我们联系起来的。在此对数学表示崇高的敬意。也对广大数学研究者和爱好者表示崇高的敬意！

最后还是想说明一下，这位沈老师22年前是一位普通的中学数学老师，现在已经成为数学研究领域的专家，对数学教育有着深刻的见解。同时对用数学软件辅助数学教学有着独到的研究。他刚出版了一本书，名叫《GeoGebra基本操作指南》，我几个月前也曾介绍过GeoGebra这个数学软件，很优秀的软件。您若有兴趣可以前往购买。点左下角蓝字阅读原文链接到微店。

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