OSPF 中的最短路径算法：Dijkstra 算法

Posted 2021-04-28 网事如烟云

OSPF 中的最短路径算法：Dijkstra 算法

 

【前言】

OSPF（Open Shortest Path First，开放最短路径优先）是IETF（Internet Engineering Task Force，互联网工程任务组）组织开发的一个基于链路状态的内部网关协议。目前针对IPv4协议使用的是OSPF Version 2。

OSPF 所使用的最短路径算法就是 Dijkstra 算法。该算法取名于作者本人。艾兹格·W·迪科斯彻 （Edsger Wybe Dijkstra，1930年5月11日~2002年8月6日）荷兰人。 计算机科学家，毕业就职于荷兰Leiden大学，早年钻研物理及数学，而后转为计算学。曾在1972年获得过素有计算机科学界的诺贝尔奖之称的图灵奖，之后，他还获得过1974年 AFIPS Harry Goode Memorial Award、1989年ACM SIGCSE计算机科学教育教学杰出贡献奖、以及2002年ACM PODC最具影响力论文奖。（摘自百度百科）

 

 

 

1959年，Dijkstra 提出了 Dijkstra 算法。由于 OSPF，很多人都了解和熟悉该算法，网上也有很多文章介绍该算法。本文班门弄斧，希望能做到有所不一样——更加清晰易懂。

 

一、Dijkstra 算法的问题模型和目标

Dijkstra 算法是很经典的求解“单源最短路径” 问题的算法。“单源最短路径” 问题指的是：已知一个由n个节点(V0..n)构成的有向连通图G＝（V，E），以及图中边的权函数C (E)，其中V代表节点集合，E表示所有边的集合，并假设所有权非负，求由G中指定节点V0到其他各个节点的最短路径。

我不知道有多少人看到上述介绍以后，就默默地关掉网页（书本），然后忧郁地点上一根烟......何必要跟自己过不去......

 

要研究算法，严谨的数学抽象和数学术语，是必须的，而且是研究的第一步。所幸呢，吾辈还谈不上研究，只是学习而已。既然仅仅是为了学习，那就尽量少点术语，多点白话吧。

如图1所示：

 

 

图1：Dijkstra 问题模型示意图

 

图1是 Dijkstra 问题模型的一个简化示意图，它不够全面，但是足够说明问题。

 

1、模型简述

图1中，有 N 个点（A/B/C/D/E/F），两点之间有直连线路（比如 A-B 之间），也可能没有（比如 A-C 之间）。

线路是有方向的，比如 A 到 B 是通的，而 B 到 A 是不通的（图1中的线路方向是 A 到 B）。

线路是长度的，比如 A-B 的长度是15，A-D 的长度是10。非常重要的一点，所有线路的长度都是正数。这一点非常非常非常重要！

 

2、算法目标

Dijkstra 算法的目标，是计算图中其中一个点，分别到其余所有点之间的最短路径。比如图1中的 A 点，到B点的最短路径是什么，到 C 点的最短路径是什么......到 F 点的最短路径是什么。

它不会去计算、也不需要计算其它各点之间的最短路径，比如不需要计算 B-C 之间的最短路径是什么。

这里的最短路径，指的是长度最短的路径，并且要说明这个路径经过了哪些节点。比如 A-C 之间的最短路径长度是15，经过了 A-D-C 三个节点。

 

二、路径标识

路径标识，是算法的第一步。如图2所示：

 

 

图2：路径标识示意图

 

任意两点之间，有的是有直连线路，那么这个路径标识就不变，仍然是那个直连线路，并且路径长度也是原来的长度。

如果两点之间没有直连线路，那么就以红色虚线标识，并且其长度记为∞（无穷大）。

需要说明两点：

（1）所谓红色虚线，是给人看的。具体在计算机编程中，如何标识，仁者见仁，智者见智。

（2）图2中，并没有标识完备。严格地说，以 A-B 为例，还需要标识一个 B 到 A 的红色虚线，并且设置其长度为∞。图中只是为了看起来更清晰一些，而没有画出来而已。（图中也没有画出 C 到 F 之间的红色虚线...）

 

三、算法介绍

标识完路径以后，就可以进入最短路径的计算了。再强调一遍，Dijkstra 算法只是为了计算其中一个点到其余各点的最短路径。

 

1、路径表的初始构建

为什么再次强调算法的目标？这是因为我们要构建路径表。 Dijkstra 算法的目标很简单，所以这个路径表也非常简单直接，如表1所示：

 

表1：Dijkstra 算法的路径表

路径名称	A到B (D0)	A到C (D1)	A到D (D2)	A到E (D3)	A到F (D4)
路径距离	18	∞	10	∞	15
路径节点	A-B	NULL	A-D	NULL	A-F

 

Dijkstra 算法路径表,就是构建其中一个节点（A）到其余各节点之间的路径。初始构建方法是：

（1）两点之间如果有直连线路，则其路径长度就是直连线路的长度，比如“A到B”路径；

（2）如果没有，则路径距离记为∞，路径节点记为 NULL，比如“A到C”路径。

 

2、最短路径判断

这一步非常重要！非常重要！非常重要！也非常关键！非常关键！非常关键！

懂得这一步，就相当于拿到了 Dijkstra 算法的钥匙！

根据路径表，我们现在有5个路径距离，分别记作：D0、D1...D5。

在这5个（或者抽象地说，是 N 个）路径距离中，最短的那个距离，就是相应路径的最短路径。

这么说有点拗口，直接看路径表，如表1所示，5个距离中，最短距离是 D2（等于10）,那么，A到D的最短路径就是10，其所经过的节点就是 A-D。

为了能看懂这个算法，其实您可以自己想一下为什么，而不用看我下面的证明，这样的话，可能比看下面的证明更容易理解。不过我还是证明一下。

 

证明：（反证法）

假设“A到D”的最短路径不是“A-D”，而是“A-X-D”，其中 X 为 B/C/E/F中任意一点，那么：

（1）A-D 路径的长度为：10

（2）A-X-D 路径的长度为：A-X 的长度 + X-D 的长度。

因为，A-X 的长度已经大于 A-D 的长度（前面已经说过，A-D 的长度，是 A 到所有节点中的最短长度），所以 A-X-D 的长度，肯定大于 A-D 的长度（因为前面说过，所有路径的长度，都是正数）。

所以，原假设不成立，也就是说 A到D之间的最短路径就是 A-D（长度为10）。

 

其实，上述的证明表述，不是很严格，严格的说，应该将 A-X-D 换为 A-X1-...Xn-D。不过这只是数学上严格表述的问题，对于理解问题的本质来说，A-X-D 的表述是一样的，而且更简洁。

 

我努力将这个证明写得很容易理解，但是，仍然需要您仔细阅读。走马观花、浮光掠影，可能看不懂（虽然证明本身很简单）。

 

3、最短路径标色

既然上一步已经得到了一个最短路径（A到D的路径：A-D），那么我们就将这个最短路径标一个颜色，以表明我们前进了一小步，如表2所示：

 

表2：最短路径标色

路径名称	A到B (D0)	A到C (D1)	A到D (D2)	A到E (D3)	A到F (D4)
路径距离	18	∞	10	∞	15
路径节点	A-B	NULL	A-D	NULL	A-F

 

当然，还是那句话，所谓的标色，是为了给人看的，具体到计算机编程，采用什么方法进行“标色”，仁者见仁，智者见智。

 

4、迭代路径表

计算出了一条最短路径，并且也标了颜色，下一步做什么呢？

这很关键，时间关系，我不再给出证明，而是直接给出算法中，下一步做什么：迭代路径表。

所谓迭代路径表，就是以上一个最短路径（A-D）为基础，再重新计算一遍路径，如图3所示：

 

 

图3：基于 A-D 再重新计算路径

 

图3中，基于 A-D，可以计算出 A到C 的路径是 A-D-C，长度是16，比原来的路径 A-C（长度是 ∞）长度要短，所以 A到C的路径就从A-C替换为A-D-C。

同理，A到E的路径，替换为 A-D-E，长度为18。

不仅 A到C，A到E的路径要重新计算，A到B、A到F的路径也要重新计算，只不过计算的结果大于原来的路径长度，不作替换而已。

比如，A到B的路径，如果基于A-D的话，则是A-D-B，由于 D-B 的长度是∞，所以 A-D-B 的长度也是∞，比原来的A-B路径（距离是18）要长，所以，不作替换。

 

如此一来，基于 A-D 再重新计算路径后，所得的路径表，如表3所示：

 

表3：重新计算后的路径表

路径名称	A到B (D0)	A到C (D1)	A到D (D2)	A到E (D3)	A到F (D4)
路径距离	18	16	10	18	15
路径节点	A-B	A-D-C	A-D	A-D-E	A-F

 

5、再获取最短路径

在步骤2中，我们已经得到一个最短路径，就是A到D的最短路径A-D。现在我们可以基于重新计算后的路径表，再获取一个最短路径。

在表3中，已经标识为最短路径（绿色）的A到D的路径，不参与计算，而其余的路径，计算出一个最小值，也就是 A到F的路径“A-F”，其长度为15。

根据步骤2中的证明，可以知道，这条路径，就是A到F的最短路径。所以，我们将这条路径也进行标色，如表4所示：

 

表4：继续标色最短路径

路径名称	A到B (D0)	A到C (D1)	A到D (D2)	A到E (D3)	A到F (D4)
路径距离	18	16	10	18	15
路径节点	A-B	A-D-C	A-D	A-D-E	A-F

 

6、循环迭代，直至结束

根据上面的描述，我们已经知道该如何循环迭代了，直至结束：所有的最短路径都计算出来。如表5所示：

 

表5：所有的最短路径

路径名称	A到B (D0)	A到C (D1)	A到D (D2)	A到E (D3)	A到F (D4)
路径距离	18	16	10	18	15
路径节点	A-B	A-D-C	A-D	A-D-E	A-F

 

所有的最短路径，用图来表示，如图4所示：

 

 

图4：所有的最短路径

 

 

【结束语】

时间关系，本文没有给出迭代算法所得出的结果，就是正确的结果，以后有时间再补上吧。

 

可能是否补充这个证明也不是多么重要，毕竟 Dijkstra 本人早就证明这个算法是正确的了。

 

重要的是，这篇文章，是否与其他文章不一样，是否足够的清晰易懂，是否对您有所帮助。

 

我试图换一种文风来写这类文章，比如搞笑型......唉，没想出来该如何写。

 

有很多童鞋说，看我的文章，不是来看字的，是来看图的。今天太晚了，就没有去网上搜索图片，最后补上一张吧。既然您都看到最后了，总不能让您失望而归！

 

 

看后更失望了，不够劲爆