初中数学：“将军饮马”之最短路径问题

Posted 2021-04-28 小初高之家

在初中数学中，“将军饮马”问题是非常常见的数学模型，今天就和极客数学帮一起来看看吧。

传说古罗马亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

分析：饮水点C是动点，显然可以用构造对称点来解决问题。只需连接A′B，与l的交点C即为路程最短点.

解：

做点A关于l的A′，连接A′B，A′B与l的交点C即为所求.

评析：若取l上异于C点的点C′，显然AC′+BC′>A′B.

问题实质

将军饮马，实质上是线段之和最短的问题。既然是线段之和，自然有多条线段.

从最初的两条线段、演变到后来的三条、四条甚至更多条线段之和的最短问题.

专题归属

从更大的分类上，将军饮马属于动态几何问题，是对知识应用较为灵活的题型。

应用范围

从最简单的直接考查线段之和、到三角形、四边形、特殊四边形、圆、一次函数、二次函数、都有将军饮马思想涉入。就深圳各校考试和中考而言，近年出现较多的，主要是三角形、特殊四边形与二次函数。

六大模型

常见问题

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。

1.怎么对称，作谁的对称？

简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?

首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。

2.对称完以后和谁连接？

一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。

3.所求点怎么确定？

首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。