动态规划|约束条件下的三角最短路径

Posted 2021-04-28 Python与算法社区

这篇文章总结了题目如何符合动态规划的特点，进而如何利用动态规划求解三角约束条件下的最短路径。

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题目

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

一套三角路径是指，第k行的第i个元素，只能与第k+1行的第i个元素或第i+1个元素组合，依次规律，到达三角形的bottom.

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动态规划的特征

求解第k行到bottom的最短路径时，需要求此行的任意一个节点i加上第k+1行到bottom的最短路径，显然这具备了最优子结构的特征；

同时，在求第k-1行到bottom的最短路径时，需要求解第k行到bottom的最短路径，在求第k行到bottom的最短路径时，需要再次求解第k+1行到bottom的最短路径，因此又具备了重复的子问题特征。

综上，可以用动态规划方法求解。

自top到bottom求解，还是自bottom到top？ 简单来讲，top层的最短路径一旦求出，这个问题就求出来了，如果从bottom开始求解，bottom的最大路径就是这层各自节点的值。

所以，选择从bottom到top的动态规划算法。

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列出转移方程

求解第k行到bottom的最短路径时，需要求此行的任意一个节点i加上第k+1行到bottom的最短路径，显然这具备了最优子结构的特征；

题目的输入数据结构： input[n][n]

创建缓存： minpath[n]，初始值为最后一层的节点取值。因为是自bottom到top，因此这样赋初始值是合理的，只有一层的最短路径就是在这些节点中选取。

由第k+1层的最短路径，推出第k层的最短路径，标颜色的部分实际上存储着第k+1层的最短路径：

minpath[i] = min(minpath[i], minpath[i+1]) + triangle[k][i]; 

赋完值后，实际上得到第k层的第i个节点到bottom的最短路径。

因此，遍历第k层的所有节点，便求出了第k层的所有节点到bottom的最短路径，实际上就是更新minpath数组。

以上，问题的分析，不准确的地方，敬请指正。