最短路径问题探究

Posted 2021-04-28 初中数学解题研究会383701049

最短路径问题是几何最值问题中的一类问题，本文只选取几何体上蚂蚁爬行问题进行探究，重在培养学生研究问题、解决问题的基本方法。

 

蚂蚁爬行问题通常是这样设计的：蚂蚁在某几何体（圆柱、圆锥、长方体、楼梯等）的一点A，需要爬去另一点B吃饭，问最短应爬行多远。既然是从一点爬到另一点，这个问题的实质，就是“两点之间，直线段最短”。

 

    在同一平面内，画出两点间的直线段非常容易，但在几何体上，蚂蚁通常是从一个平面爬行到另一个平面，平面变了，这类问题该如何处理呢？

 

首先，我们得产生这样的设想：能不能把这个问题，转化为同一平面的问题。这样，思路就产生了。通过对几何体展开，原本不在同一平面的几个面，被放在了同一平面内，问题迎刃而解。

 

其次，我们得通过具体的方法来模拟几何体的展开。通常的做法，是在草稿纸上画几何体的平面展开图。但这个对学生的能力有一定的要求，本文提供一个更加具体化的做法，如下：

拿圆柱体举例，圆柱体展开得到一个矩形和两个圆。取一张A4纸，先沿平行于宽的对称轴对折，然后卷纸得到一个圆柱体，在圆柱体上标注相应的字母，然后展开。

 

最后，利用勾股定理列方程，便可求得最值。

文字比较抽象，接下来以例题讲述这个问题。

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