最短路径问题-2

Posted 2021-04-28 初中数学题解视频

最短路径问题-2

探究二、角的内部定点问题（一定两动两直线问题）

问题一：点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。

【分析】作图方法如下所示

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可知当△PCD周长最小时，周长等于P’P’’的长。

当△PCD周长最小时，请大家思考以下几个问题；

思考一：，连接OP’和OP’’，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？

【分析】由对称知OP=OP’，OP=OP’’，∴OP’=OP’’，∴△OP’P’’为等腰三角形。

思考二：若∠AOB=30°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？若∠AOB=45°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？

【分析】由对称知∠1=∠2，∠3=∠4.∠2+∠3=30°，则∠1+∠4=30°，从而∠1+∠2+∠3+∠4=60°，即∠P’OP’’=60°。∵OP’=OP’’∴△OP’P’’是等边三角形。

同理可知当∠AOB=45°时，∠P’OP’’=90°，△OP’P’’是等腰直角三角形，在这里不再专门画图解释。

思考三：若∠AOB=30°，0P=2，△OP’P’’的周长是多少呢？△PCD的周长是多少呢？

由思考一和思考二知：OP=OP’=OP’’=P’P’’=2，可知△OP’P’’的周长为6，△PCD的周长=P’P’’=2。

【练习】（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．

【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为C，

∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，

∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，

∵△PMN周长的最小值是5cm，

∴PM+PN+MN=5，

∴DM+CN+MN=5，

即CD=5=OP，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°；

故选：B．

【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

思考四：如果△PCD的周长等于OP的长，∠AOB为多少度呢？

∵△PCD的周长=P’P’’，△PCD的周长等于OP

∴OP=OP’=OP’’=P’P’’

∴△OP’P’’为等边三角形。

即∠P’OP’’=60°

∵∠1=∠2，∠3=∠4.

∴∠2+∠3=30°

即∠AOB=30°

思考五：若∠AOB=x°，你能用含x的式子表示∠PCD+∠PDC吗？你能用含x的式子表示∠CPD吗？

（1）∠PCD+∠PDC=2x°

证明：在四边形OEPF中，∠PEO=∠PFO=90°

可知∠AOB+∠EPF=180°

在△PP’P’’中

∠PP’P’’+∠PP’’P’+∠P’PP’’=180°

得∠PP’P’’+∠PP’’P’=∠AOB=x°

由于P’C=PC，PD=P’’D

所以∠CP’P=∠CPP’.∠DPP’’=∠DP’’P

因为∠PCD为△CP’P的外角，∠PDC为△PDP’’的外角

∠PCD=∠CP’P+∠CPP’=2∠CP’P，∠PDC=∠DPP’’+∠DP’’P=2∠DP’’P

所以∠PCD+∠PDC=2∠CP’P+2∠DP’’P=

2（∠CP’P+∠DP’’P）=2（∠PP’P’’+∠PP’’P’）

=2∠AOB=2x°。

（2）∠CPD=180°-2x°

由（1）知∠PCD+∠PDC=2x°，根据三角形内角和可以得知∠CPD=180°-2x°

【例5】（2012•兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）

A．130° B．120° C．110° D．100°

【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，

∴∠AA′M+∠A″=60°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，

故选：B．

【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

总结：如果这道题利用思考五给的公式我们可以进行秒杀，不信我们来试试

∵∠BAD=120°∴∠C=60°

∴∠AMN+∠ANM=2∠C=120°。

【练习5】（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，

∴∠DAB=130°，

∴∠HAA′=50°，

∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，

∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF=50°，

∴∠EAF=130°﹣50°=80°，

故选：D．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．

总结：利用思考五的公式：∠EAF=180°-2∠C=180°-2*50°=80°

THE END

最短路径未完，希望大家继续关注