最短路径与杨辉三角

Posted 2021-04-28 小miu号

我们在计算正方形组成的规则型矩阵中，从左下角走到右上角的最短路径有几条？解决方法有三种，一是枚举法，由于交叉点太多了，基本可以不予考虑。二是组合法，从左下角到右上角需要走12步，必须走6横步6纵步，而且一旦横步确定纵步也就确定了，所以只需计算12步中走6横（纵）步的组合数量，即6C12。三是对角线法，又称标号法。每个小方格的对角线之和即为前进方向上最近交叉点的步数。图中虚线是对角线，由于图1是由左下角向右上角走，对角线的方向是左上到右下。以第一格为例，从原点出发，到左上（右下）是第一步，经左上（右下）到右上是第二步。右上的步数即为左上与右下步数之和。以后每一步都依次类推。

横步和纵步的步数相同的图形组成的方形图中，我们把每一个点的步数写出来，如图所示。这个图所示的数字便是杨辉三角中的数字组（如图2中的绿色方框）。图1中的步数便有了杨辉三角的部分特性。