数学模型17：最短路径模型

Posted 2021-04-28 数学新讲堂

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模型十七：最短路径模型

模型内容描述：

模型1 立体图形展开的最短路径

通过把立体图形展开的最短路径利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。

上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行一周。到点B的最短路径就是展开图中AB′的长，

模型2 定直线与两定点（将军饮马）

(1)当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。

连接AB交直线于点P，点P即为所求作的点。

PA+ PB的最小。

(2)当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PA+PB最小。

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线于点P，点P即为所求作的点。

PA+PB的最小值为AB′。

(3)当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使|PA-PB|最大。

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。

|PA-PB|的最大值为AB。

(4)当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使|PA-PB|最大。

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点。

|PA-PB|的最大值为AB′。

(5)当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使|PA-PB|最小。

连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。

|PA-PB|的最小值为0。

模型3 角到定点

（1）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P"，连接P′P"，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。△PCD周长最小为P′P"。

（2）点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 

作点P关于OB的对称点P′，过点P′作P′C⊥OA交OB于点C，点C、D即为所求。

PC+CD的最小值为P′C。

（3）点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小。

分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求。

PC+CD+DQ的最小值为P′Q′，所以四边形PQDC的周长的最小值为P′Q′+PQ。

 模型4 两定点一定长

（1）如图，在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。

将点A向右平移个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求。

AM+MN+NB最小为A"B 。

 

将点A向下平移d个单位到A′，连接A′B交直线l₂于点N，将点N向上d平移个单位到M，点M、N即为所求。

AM+MN+NB的最小值为A′B+d。

 

模型应用：

（1）基础训练

1.1有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

1.2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2， 若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是            。

1.3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径。（结果保留根号）

2.1．如图，正方形ABCD的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为     。

2.2．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P为CD上的动点，则|PA-PB|的最大值是多少？

3.1．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若△PQR周长最小，则最小周长是多少？

4.1．在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF=2。当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标。

（2）变式提升

1.1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

1.2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为             。

1.3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只蚂蚁从杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的C处时，突然发现了蜜糖，问蚂蚁至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置.

1.4．已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB的中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（    ）

1.5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为      。

1.6．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。

1.7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？

2.1．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是             。

2.2．如图，点C的坐标为（3，y），当△ABC的周长最短时，求y的值。

2.3．如图，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一点，且DM=3，N是AC上的一动点，求|DN-MN|的最小值与最大值。

3.1．如图，∠MON=40°，P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时：

（1）找到A、B点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB等于多少度。如果∠MON=θ，∠APB又等于多少度？

3.2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM的度数。

3.3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD+CD+BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标。

3.4．如图∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？

4.1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在，x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点。

（1）若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

4.2．村庄A和村庄B位于一条小何的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？

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参考答案：

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希望此文对大家有所帮助。

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