数据挖掘算法：SVM算法

Posted 2021-04-27 算法爱好者

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SVM（Support Vector Machines）是分类算法中应用广泛、效果不错的一类。《统计学习方法》对SVM的数学原理做了详细推导与论述，本文仅做整理。

由简至繁SVM可分类为三类：线性可分（linear SVM in linearly separable case）的线性SVM、线性不可分的线性SVM、非线性（nonlinear）SVM。

线性可分

对于二类分类问题，训练集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xN,yN)}，其类别yi∈{0,1}，线性SVM通过学习得到分离超平面（hyperplane）:

以及相应的分类决策函数：

有如下图所示的分离超平面，哪一个超平面的分类效果更好呢？

直观上，超平面B1B1的分类效果更好一些。将距离分离超平面最近的两个不同类别的样本点称为支持向量（support vector）的，构成了两条平行于分离超平面的长带，二者之间的距离称之为margin。

显然，margin更大，则分类正确的确信度更高（与超平面的距离表示分类的确信度，距离越远则分类正确的确信度越高）。通过计算容易得到：

从上图中可观察到：margin以外的样本点对于确定分离超平面没有贡献，换句话说，SVM是有很重要的训练样本（支持向量）所确定的。

至此，SVM分类问题可描述为在全部分类正确的情况下，最大化margin，线性分类的约束最优化问题：

对每一个不等式约束引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）αi≥0,i=1,2,⋯,Nαi≥0,i=1,2,⋯,N；构造拉格朗日函数（Lagrange function）：

根据拉格朗日对偶性，原始的约束最优化问题可等价于极大极小的对偶问题：

将L(w,b,α)对w,b求偏导并令其等于0，则

将上述式子代入拉格朗日函数中，对偶问题转为

等价于最优化问题：

线性可分是理想情形，大多数情况下，由于噪声或特异点等各种原因，训练样本是线性不可分的。因此，需要更一般化的学习算法。

线性不可分

线性不可分意味着有样本点不满足约束条件，为了解决这个问题，对每个样本引入一个松弛变量ξi≥0，这样约束条件变为：

其中，C为惩罚函数，目标函数有两层含义：

1、margin尽量大，

2、误分类的样本点计量少

C为调节二者的参数。通过构造拉格朗日函数并求解偏导（具体推导略去），可得到等价的对偶问题：

与上一节中线性可分的对偶问题相比，只是约束条件αi发生变化，问题求解思路与之类似。

非线性

对于非线性问题，线性SVM不再适用了，需要非线性SVM来解决了。

解决非线性分类问题的思路，通过空间变换ϕ（一般是低维空间映射到高维空间x→ϕ(x)）后实现线性可分。

在下图所示的例子中，通过空间变换，将左图中的椭圆分离面变换成了右图中直线。

在SVM的等价对偶问题中的目标函数中有样本点的内积xi⋅xj，在空间变换后则是ϕ(xi)⋅ϕ(xj)，由于维数增加导致内积计算成本增加，这时核函数（kernel function）便派上用场了，将映射后的高维空间内积转换成低维空间的函数：

将其代入一般化的SVM学习算法的目标函数中，可得非线性SVM的最优化问题：

参考资料

[1] 李航，《统计学习方法》.

[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.

数据挖掘算法系列：

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