函数的连续性和可导有什么区别呢？

Posted 2023-03-16

参考技术A

关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

扩展资料：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

严格来说，设  是一个从实数集的子集  射到  的函数：  。

 在  中的某个点  处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：

1.  在点  上有定义。

2.  是  中的一个聚点，并且无论自变量  在  中以什么方式接近  ， 的极限都存在且等于  。

我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连续。更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子集上是连续的。

参考资料：百度百科——可导

参考资料：百度百科——连续

f(x)n阶可导和f(x)n阶连续可导证明结论

1.f(x)n阶可导,指的是f(x)有n阶导数还是有（n+1)阶?2.f(x)n阶连续可导呢?是否能推出f(x)导数有（n+1)阶?

参考技术A （1）、f(x)n阶可导,指的是f(x)有n阶导数；
（2）、f(x)n阶连续可导是f(x)有(n+1)阶导数的必要条件但不充分条件,
导数存在的前提是函数连续且左极限等于右极限.