排序进阶——希尔排序（算法二）

Posted 2021-04-25 可乐

提升效率的本质在于少做事。

一. 序

之前介绍的入门排序方法，复杂度都是O(n²)。以这种复杂度去对大量数据排序显然是不可行的。即便是应付面试，也不太可能用冒泡排序、选择排序以及插入排序蒙混过关。

我们知道，插入排序的优点是针对比较有序的数据进行排序是相当高效的，缺点则是每次只移动一个数据。接下来，我们就针对插入排序的缺点，对其进行优化。

二. 插入排序回顾

首先看一下插入排序的实现，以数据7、8、3、5为例：

1. 取第一个数7，肯定是有序的，不需要处理，得到7、8、3、5

2. 取第二个数8，比7大放在7后面，得到7、8、3、5

3. 取第三个数字3，分别与8、7比较，得到3、7、8、5

4. 最后取5，分别与8、7、3相比，得到3、5、7、8

不难发现，几乎每个数字之间都做了比较。效率本身除了做事的速度，还取决于做事的量。想要更快的完成排序，计算机的速度可以看成是常量，可以优化的在于我们如何指导计算机少做事。

插入排序的优点是对基本有序的数据排序效率高，这给我们的启发便是想办法让一个比较无序的数组先变得比较有序。插入排序的缺点是一次只移动一个数据，优化的方向显然就是一次移动多个数据。

三. 希尔排序

由此，插入排序的进阶版本，希尔排序(Shell sort)被发明了出来。还是外国人的老套路，该算法以设计者希尔（Donald Shell）的名字命名，于1959年公布。

希尔排序首先把一串数据按照一定的间隔(Gap)分开，比如7、8、3、5按照间隔2分开，就变成了两个数组7、3和8、5，这样可以分别对这两个小的数组进行排序，变成3、7和5、8。放在原来的数组中看就变成了3、5、7、8。最后以1的间隔扫描一遍数据，不需要再移动任何数据。

一次搞定，牛叉不牛叉，哇塞不哇塞。

到此可以看出，希尔排序通过把数据按照一定的间隔分组，然后以小组为单位，在小组内使用插入排序，然后逐步缩小分组间隔，对于100个数据A1～A100，可以先按照50为间隔分成：

• A1、A51

• A2、A52

• ……

• A50、A100

等50组，每组先进行插入排序。然后再以25为间隔，把数据分成25组，每组4个数据进行插入排序。以此类推，直到最后以1为间隔分成1个组，再做一次插入排序。

要注意的是，分组间隔里面间隔1是必选项，由它保证整个数据最后肯定是有序的。其余间隔如何选择是个很复杂的数学问题，简单的实现可以用待排序数据的个数不停除以2，直到最后间隔为1停止。

老规矩，算法一般来说与编程语言无关，因此这里依然用通俗易懂的伪码(Pseudocode)：

gaps = [701, 301, 132, 57, 23, 10, 4, 1]foreach (gap in gaps){      for (i = gap; i < n; i += 1)   {              temp = a[i]             for (j = i; j >= gap and a[j - gap] > temp; j -= gap)       {           a[j] = a[j - gap]       }             a[j] = temp   }}

四. 复杂度

希尔排序的时间复杂度是多少呢？不知道，我是认真的，确实不知道。希尔排序使用的分组间隔如果很小，分出来的组就少，每个组内需要比较的元素就很多；反之，如果间隔很大，每个组内需要比较的元素大幅减少，但是需要比较的组却大幅增加。很容易想到，分组间隔需要找到一个均衡。目前Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)被认为是最好的分组间隔。该序列的项来自：

使用此序列，在小数组中比快速排序和堆排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。目前一般认为希尔排序的时间复杂度在O(n^(1.3~2))之间。由于希尔排序的复杂度与排序分组间隔的选择直接相关，目前还是个未解决问题(Open problem)。

说到排序，一般还会提到排序的稳定性。什么是稳定性呢？简单的讲，就是相同数据之间的相对位置是否会多次变动，如果会多次变动，就是不稳定的，否则就是稳定的。不难看出，希尔排序会使用不同的间隔多次排序，很可能多次移动同一数据，因此是不稳定的。

简单看一下插入排序和希尔排序的效率，以10000个随机数排序耗时为例：

耗时差了近200倍，这就是算法的魅力。有兴趣后台回复『希尔排序』获取源码。

五. 小结分析

希尔排序虽然不是速度最快的排序算法，但是希尔排序的应用极其广泛。原因主要有如下几点：

• 排序速度比较快，比插入排序等O(n²)的算法要好。

• 代码实现极其简单，且空间复杂度为O(1)，排序过程仅需一个辅助存储变量。

• 虽然大部分情况下没有快速排序速度快，但是希尔排序在程序实现上不需要开栈操作，使用的空间极少，而快速排序则需要开辟大量的栈空间。

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