Haskell拓展篇：斐波那契数列

Posted 2021-04-25 Lambda小粽子

斐波那契额数列，又称黄金分割数列，是著名数学家Leonardoda Fibonacci引入的。这个数列的特点是，除了前两个数字，每一个数字都是其前两项的和：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144, …

根据我们的定义，我们可以得到F_n = F_n-1 + F_n-2这个公式。可能大家有所了解这个序列是有通项公式的，不过今天我们的重点并不在此，今天我来带领大家用Haskell来编写一个程序，计算斐波那契额数列。 

根据定义我们一开始可以把函数定义为一下这个样子：这是一个从整数Int映射到Int的函数。

然而这样的定义是有很大的问题的。比如在我们运算fib 5的时候，函数会计算fib 4 和 fib 3的值，然而在计算fib 4的时候其实已经计算了fib 3的值了，也就是说fib 3的值其实被计算了两次。当输入的变量并不大的时候还并不明显，然而当我们计算很大数值的fib值时（其实大多数电脑计算fib 100的时候就已经需要等很长很长时间了）就会浪费很多的时间造成巨大的运算浪费，究其原因还是普通递归在解决这一类的问题时，对subpart进行了多次的重复的计算。

说到这里可能大家就想到了，当我们解决这一类的问题时，比较好的解决方法是动态规划（dynamic programming）。简单来说，动态规划的思想就是从下而上，将每一个sub part只计算一次，并用subpart的计算结果进行更上一层的计算。在本问题中我们知道F_n = F_n-1 + F_n-2，反过来也就是如果我们已知F_n-1和F_n-2，那我们就能很轻松的求出F_n。让我们以F_5为例，我们已知F_1 = 1, F_2 = 1，接下来我们可以计算出 F_3 = 2，F_4 = 3，最后求出F_5 =  5。更多的动态规划的思想我会在之后的文章中详细提到。

如此我们可以将我们的函数设计成以下这样：

这个函数中我们使用了三个Haskell内置的函数和操作符号。（：）是Haskell中list的构造符号，它的type是 a->[a]->[a]，将一个element和这个element类型的list连接起来构成一个新的element类型的list。tail函数式取list的尾部，如tail [1,2,3,4] = [2,3,4]。zipWith是一个比较复杂的函数，我们也会在之后有详细的介绍。这个函数接收一个函数和两个list作为变量，将两个list中的element根据接收的函数依次进行计算，然后生成一个新的list。举个例子，zipWith (+) [1,2,3] [10,20,30] =  [11,22,33]。那么这个函数理解起来就简单了，它先是声明了fib数列的前两项，然后之后的项由其前两项相加而来。更加具体化的例子是，fib2 = [0,1,a,b,c…..]，tail fib2 = [1,a,b,c….]，所以a = 0 + 1 = 1，然后我们更新上面的序列fib2 = [0,1,1,b,c…..]，tail fib2 = [1,1,b,c….]，所以b = 1 + 1 = 2，以此类推。在这个例子中，在我们计算F_n时，我们先依次将F_1到F_n-1的数全部计算了出来，由此得出F_n的值。

由于还没有系统的讲过Haskell中的list，所以上面那一块可能大家体会动态规划不是很明显，接下来的定义就会比较的清晰了：每次我们都只记录两个数(a,b)，然后h的作用是(a,b) => (b,a+b)，其实就是（F_n-2, F_n-1）=> (F_n-1,F_n-2+F_n-1) = (F_n-1,F_n)，每将h apply在这个tuple上一次时我们就会得到下一层的Fib值，而我们要做的就是根据输入的input将h apply在初始tuple(1,1)上几次，如此一来，如果我们想要计算Fib n的值，我们只需要运算n遍就能得到我们想要的结果了。

这一讲的内容涉及到很多还没有细细提及的知识，之后我会将其中的内容仔细分章节的讲给大家。

编辑：以月

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