Haskell入门篇九：高阶函数（中）

Posted 2021-04-25 Lambda小粽子

上一篇文章为大家介绍了高阶函数的定义，并用柯里化函数为切入点让大家对高阶函数有了一个初步的体会，这篇文章将继续上一篇的内容，为大家介绍高阶函数中非常重要的两个函数：左折叠函数foldl和右边折叠函数foldl。

首先我们先来说一下什么是折叠函数和为什么我们要用折叠函数。折叠函数本身是定义在高阶函数内的，通过对可递归函数类型和被提供的操作符进行组合，递归的求出每一步的结果，并最终建立最终结果的一个过程。通过定义我们得知，折叠函数一般会被应用在一个可递归的数据类型上，如list。 而折叠函数也分为左折叠和右折叠。在Haskell中，我们之前使用过的很多函数都可以用折叠函数进行重新定义。

我们先来说说右折叠函数foldr。在这里Foldable是一个类型类，所有应用了这个类型类的类型都是可被折叠的，具体的细节我们会在之后的文章中提到。让我们暂且仅仅聚焦在Haskell中的list上，foldr的类型可以被理解为 foldr :: (a -> b -> b) -> b -> [a] ->  b（list也是Foldable的实例之一）。通过函数类型，我们可以看到foldr函数接收一个函数，一个element（通常而言是base element也就是这个函数的default value）和一个list作为变量。接下来我们尝试着自行定义下这个函数。

通过定义我们发现函数会在list为empty时达到basecase，而list不为空时依次对list中的element进行函数f的应用。这里一定要注意函数的类型(a ->  b -> b)。通过这个类型我们可以得知b为这个函数的basecase，而当我们处理list的时候，所有的element都会被向右积累，即函数的展开应该为：

所以通过对element的向右的积累，这个函数最后能够通过递归获得最终的结果。但是不知道大家有没有通过这个展开发现一些小小的问题，容我卖个关子，文章后面的部分会提到在某些情况下foldr并不是一个很好的选择。另外通过foldr，我们可以定义一些我们之前使用过的函数，这里我们以map函数为例。

这其中（.）是我们下一篇文章会提到的复合函数。大家通过对myMap定义和myFoldr定义的对比不难看出，用foldr去定义map的时候，basecase就是[] emptylist。那么myFoldr的第一个argument的类型应为 a -> [b] -> [b]，再加上我们观察得知中间的步骤应为先apply函数f在每一个element上，再将得到的结果放置在结果list的head上，所以我们可以写这么一个函数\a xs -> f a : xs，这个函数和上面那个函数的功能完全相同，通过化简我们可以得到\x -> (:)(f x)这个函数（之前的文章有提到过Haskell中的operator和函数的相互转换），而上面图中的形式就是这个函数通过复合得出的更为简洁的形式。 

接下来我们再来看看左结合函数foldl，同样的我们先来看看foldl的函数类型。

我们暂且先关注于list上的foldl，那么foldl的类型应为foldl:: (b -> a -> b) -> b -> [a] -> b。不知大家有没有发现其类型和右折叠函数foldr的细微不同。我们先来尝试定义一下foldl。

也许大家现在发现不同了，相比于右折叠函数，左折叠函数在展开list的同时就对结果进行计算（而不是完全展开后再进行计算）。之前的文章中我有提到过一个概念『尾递归』，事实上左折叠函数就是一个尾递归函数，这种函数的好处是函数本身不会占用太多的function  stack函数栈，因为每一步的计算在函数展开的时候就已经得到结果，反之则需要将函数中的list（或者其他的递归函数类型）完全展开，在变量层级很多的情况下将展开非常多的function stack，有可能有stack overflow爆栈的危险。在这一类的尾递归函数中，以myFoldl为例，b通常被称为accumulator积累器。在后面的文章中我会详细介绍尾递归函数，在这里就不更多叙述了。在这里，我同样用一个例子来和大家一起深入的认识左结合函数的妙用，这里以reverse函数为例。

reverse函数是将一个list里面的element完全颠倒过来的函数，这个函数定义的难点是如我上面图中最后两行的定义，函数每次取出一个element都要递归的放到剩余list的reverse结果之后的最后面，而之后的文章会提到的是，++函数将两个list相连本身的效率是非常的低的，所以在这种情况下我们选择使用accumlator，也就是我上面函数的第一个变量。我们传入一个emptylist，并每次递归将取出的结果concat到这个list上已达到reverse的效果。所以对比myReverse和myFoldl的定义，我们知道这个函数中的base应该是[]，那么foldl所接收的第一个函数的类型也就呼之欲出了 [a] -> a -> [a]，所以我们可以将这个函数定义为(\xs x -> x : xs)。这个函数和(flip (:))函数是完全相同的，(flip (:))只是通过调换argument的顺序使得函数可以被η化简掉，这样的小tips在Haskell中有很多，我也会慢慢向大家介绍。

如何取舍使用foldr还是foldl，其实取决于我们的combine函数（或者是运算符）的结合方向，如果是左结合，我们就应该使用左折叠函数，反之应使用右折叠函数。上文的例子map函数中（：）操作符就是右结合的，所以我们用foldr去定义map函数。

下一篇文章将会介绍函数的复合，如何在Haskell中写出和数学函数表达式一样顺序的函数，敬请期待。

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