范畴和函子，以及它们在 Haskell 中的应用——洪峰老师讲创客道（三十四）

Posted 2021-04-25 Linux内核之旅

洪峰老师讲创客道34 来自Linux内核之旅 00:00 24:56

在上一讲，我给大家介绍了函数的概念以及Lambda演算，Lambda演算是的函数式编程语言的共同基础，所有的函数式编程语言都以Lambda演算作为理论基础。因此，理解Lambda演算对于理解函数式编程语言是极为重要的。比如说，之前在Lambda演算介绍里面提到过的关于正则序和应用序，对于我们现在学习Haskell非常重要。Haskell语言的求值顺序在默认情况下，就是正则序。

在Haskell语言酝酿和提出规范的时候，计算机工业的发展水平还不够高，在那个年代，要实现大规模平行计算是比较困难的。但是现在看起来，Haskell语言的设计师们默认把Haskell语言的求值顺序定义为正则序，使得Haskell语言成为惰性（Lazy）求值的语言。这种做法毫无疑问是具有眼光、具有前瞻性的。今天的计算机硬件发展非常快，计算机的多核、计算机上可用的存储资源非常丰富以及计算的速度都是今非昔比。在现在的计算机体系架构下，Haskell语言的内在特点充分的发挥了出来。函数式编程语言终于迎来了发展的黄金时代。相比Haskell以前的函数式编程语言，Haskell一个很重要的特点是，它把数学领域的范畴论应用到了计算机语言的设计中来。Haskell语言之所以成为一个纯函数式编程语言，很大程度上就是它采用了范畴论的理论作为他的设计思想。在这一讲，我就简要说明一下范畴论，以及范畴论是怎么应用带Haskell语言的设计中来的。

我前面讲过，学习Haskell有三个轮回，在第二个轮回中我们要学习函数，函子和单子的概念。要理解函子和单子这个概念没有范畴论的基础是不行的。理解范畴论的第一步就是要理解范畴的概念，范畴在英文中被称为Category，范畴论被称为Category Theory。从某种意义上讲，范畴是集合论中集合在某种概念上的推广，请大家回顾一下，我在本书的第三种提出的PM1/2/3的3里面就有集合论。范畴是如何对集合进行推广的呢？我们原来学习集合论的时候我们一般只考虑集合中的元素，我们关注元素的个数也就是集合的基数、集合里面元素的排列顺序（偏序结构、两虚结构或者是传序结构）或者是集合中元素的分布密度。但是在很多的场合下我们还要考虑集合中的元素到另外一个元素的映射关系，比如说一个公司在市场上要生存下去，就必须具有资金、技术和人脉，这三样缺一不可。没有资金动不了；没有技术公司在市场上没有竞争力或者工作很辛苦；没有人脉打不开市场，社会是由人组成的，人与人之间的联系就是人脉，对于公司来说就很重要。

当我们考察社会这个大集合的时候，在考虑集合里边的人的同时，也要考虑人与人之间的联系（朋友关系、师生关系、老乡关系等等）。互联网技术兴起之后，甚至出现了专门的网络服务帮助人扩大人脉。例如说FaceBook、LinkedIn等等。一个人从社会看，不同的角度有不同的角色。比如说我，我是我父母的儿子，我是我爱人的丈夫，同时我还是我孩子的父亲。儿子、丈夫和父亲这三个角色给予我一身。当然，我身上还有其他的角色，我现在给大家讲课。我和诸位有讲课人和听课人的关系。

哲学家卡尔马克思讲过一句话：人是社会关系的总和。从我们数学家的角度来看，这句话是非常正确的。在范畴论的理论框架下，我们对集合的考虑不光有集合中的元素，还有集合中元素与元素之间的映射关系。只要集合中的元素两者之间有形影关系，我们把一些箭头画到集合元素之间去。此时，集合中不仅有点，点与点之间存在着大量的箭头。我们在考察一个范畴的时候，我们需要把注意力和重点放在范畴的箭头上。这就是关于范畴（Category）的一个直觉性思考，有了这个数学直觉之后，我们要开始考虑如何从数学的角度来定义一个范畴，给出他的数学定义。不过，在往下进行之前，我还要向大家介绍一个很重要的概念——关于函数的复合（Composite of Function）。

为了解说的方便呢，请大家发挥一下想象力。假设我们现在有一个三角形，三角形当然有三个顶点。我们不妨对三个顶点做如下定义：左下角叫成都，上面顶点是北京，右下角的顶点叫做上海。假设x、y、z就是成都、北京、上海是三个集合，因此出现了成都x到北京y再到上海z的这样一个三角形。我们现在在三个集合之间放一些箭头，从成都到北京，我们用f表示一种映射关系，比如说生活在北京的王先生，他的父母是成都人，这个关系我们用d表示；从北京到上海，我们用g表示一种映射关系，比如说刚刚提到的生活在北京的王先生，他的爱人是上海人，这是一种夫妻关系；从成都到上海，我们用h表示这种关系，那么对于生活在北京的王先生来讲，他的来自成都的父母和来自上海的爱人是一种什么关系呢？王先生的妈妈和王先生的爱人是一种婆媳关系，这里我们用h表示。h关系是怎么来的呢？首先应为王先生出生在成都，工作在北京，这是f关系定义的。王先生和王先生的爱人结婚以后，形成了夫妻关系，g是这么产生的。所以h这个婆媳关系是由f和g这两个关系复合得到的。换句话说，王先生家庭的婆媳关系是由母子关系和夫妻关系复合产生的。在数学里，我们可以把h写成g。f，表示关系的复合。具体到这里说，就是函数的一种复合关系。

有了前面讲的箭头和箭头的复合，用箭头表示一个函数，箭头的复合表示函数的复合。接下来，我们可以考虑如何定义范畴这个概念。回到我刚才给大家列举的成都、北京、上海三角形的例子。我们把成都人、北京人、上海人（当然还可以列出更多的城市的人口）称之为对象组成的领域，也就是说又成都人、北京人、上海人这些人组成了一个领域，我们叫做对象领域。这个时候不能单纯的谈成都人，也不是单独的谈北京人，更不是单独的谈上海人，而是把他们作为一个整体来考虑。对象领域是构造范畴的第一个要件；第二个要件是范式领域，对象领域的映射关系我们把它单独的拿出来，这个就是范式领域。范式领域实际上是我们在对象领域里面确定的一些箭头，可以让你直观的看待。范畴概念的第三个要件就是结合法则，在范式领域里面形成的箭头满足结合法则（注意：在范畴的概念里面，结合法则是对于同一种关系说的。比如说：王先生的父母在成都，王先生的父母是王先生的长辈。假设王先生的儿子在上海，王先生是他儿子的长辈。王先生的父母、王先生本人和王先生的儿子这三代人里面看，王先生的父母和王先生的儿子也是长辈和晚辈的关系呢。这就是我们说的结合法则）。

有了这三个要件之后，范畴的概念也就有了。有了范畴的概念以后，我们可以学习什么叫函子。但是这里还有一个概念要跟大家事先介绍一下，那就是单位元的概念。前面我介绍半群的概念的时候，已经提到了半群满足运算的封闭性，还有满足结合律。如果对于一个半群而言，他的运算存在一个单位元的概念。什么叫单位元呢？比如说对乘法运算而言，在自然数、整数或者是实数系下，1乘以任何一个数是不是还是等于这个数本身呢。这时，1就是乘法运算的单位元。而对于加法运算，0就是它的单位元，因为0加任何一个数还是等于这个数。

在Haskell语言里面，列表和lisp语言一样还是一种内置的数据结构。所不同的是，Haskell的列表我们写在一个中括号里面，元素与元素之间用逗号隔开，而且要求元素的类型完全一致。对于Haskell语言来说，空表就是表运算关于串接处理的单位元，空表串接在Haskell语言里面写成两个加号。用空表串接一个表，还是等于这个表本身；用一个表去串接一个空表，也是这个表本身。也就是说，空表这个单位元，关于表串接运算满足交换律。单位元在英文里面称为i\

identity。对一个半群而言，如果它存在单位元的话，这个半群被成为幺半群（monoid），请大家记住幺半群这个概念，这个在Haskell编程里面极为重要。

有了这些概念以后，我们现在可以看看函子（Functor）的定义。Functor实际上是建立在两个Category之间的映射关系，用数学的术语讲，函子（Functor）就是从一个范畴到另外一个范畴的态射（morphism）。这个概念跟我们函数的定义是不是很相似呢？这里我们回顾一下前面我们讲过的函数的定义，直系空间上的一个子集。函数的定义里面出现了定义域、值域以及从定义域到值域的映射关系，也就是一个箭头。与此类似，定义一个函子，我们可以把函子写成一个大写的字母T，T后面有一个冒号，然后写上大写的字母A->（右箭头）到大写的字母B，这里的A和B都是代表两个范畴。在范畴论的语言里面，A仍然被成为定义域（Domain）。B被称之为协定义域（Codomain）。刚才我说的这个细节，对于熟悉函数定义的人来说，理解起来没有任何困难。但是函子和函数的定义还有一个重大的区别，除了刚才提的映射关系以外，他还增加了两个函数。这两个函数分别叫做对象函数（Object Function）和箭头函数（Arrow Function），两个表示都是T。这两个函数是什么意思呢？对象函数就是在范畴A里面的一个对象，它在范畴B里面有一个对应项，对应着这个对象而存在，这是这么一种映射关系。而箭头函数就是对应范畴A里面的一个箭头，它会在范畴B里面也有一个对应的箭头。而且函子中定义的态射满足两个重要的条件：一个是它存在单位元，单位元的概念我前面已经讲过了；第二个就是态射满足关于函数复合的性质，也就是说Tg。F = Tg。Tf。前面一条，关于单位元的存在这个很好理解，意思是在范畴A里面存在的单位元，在范畴B里面也有一个单位元与之对应，这里就不花更多的时间解释了。关键是后面这条怎么理解，其实也很好理解。回想一下我前面介绍的关于成都、北京、上海这个三角形，我可以把它放到一个范畴里面去，同时我们假设美国也可以当做一个范畴。然后我们建立中国到美国的映射关系，这个映射就叫做态射。在中国的范畴中存在着亲子关系、夫妻关系以及婆媳关系都可以在美国领域里面中找到对应项，也就是说在美国范畴里面，也有两个箭头我们称为Tg和Tf，它们分别和中国范畴里面的g和f相对应。在中国的领域里面，婆媳关系是由亲子关系和夫妻关系复合而来的，那么在美国的领域里面，婆媳关系的对应项也是由亲子关系和夫妻关系的Tf和Tg复合得来。这就是第二条性质的形象化说明。

在Haskell中，有直接定义函子的语法，大家可以阅读一下关于Haskell的教材。关于范畴论的书，我可以向大家推荐德国的斯普林格（Springer-Verlag）出版社出版的研究生数学教科书系列，在这个系列里面的第五本是Saunders Mac Lane写的《数学工作者必知的范畴学》（ Categories for the Working Mathematician），这本书对范畴学主要的内容做了深入的介绍。这是我目前读到的关于范畴学最权威的著作。请大家务必理解范畴、函子的概念。因为在Haskell编程里面，你没有这两样东西的理解，对于后面我们讲单子、在Haskell语言里面处理 I/O以及带状态的问题处理这几个专题的时候，是不行的。

在我们讲单子之前，先回到Haskell课程的三个轮回的第一个轮回——类型变量和类型类。现在已经知道了范畴和函子的定义，所以可以开始讲类型类（Type Class）。简单的讲，类型类就是由函子定义的一种类型结构。前面已经讲到，函子是一个范畴到另一个范畴的一种态射，一种特殊的映射关系，一种特殊的形影关系。更清晰的说就是，一个范畴的许多箭头按照某种映射关系投影到另外一个范畴中去，与另外一个范畴中的许多箭头建立形影关系。函子的定义域中的箭头的类型很多，这时候，我们为了表达上的方便，采用类型变量这个术语表达一堆的箭头。

前面我已经说过，在Haskell语言中函数是一种特殊的类型，所以用这个类型变量就表示一堆的函数。类似的类型变量还可以表示许许多多的类型，不一定是函数类型。从这个意义上讲，类型变量实际上代表了类型复数的概念。如果你明白了我刚才讲的类型类与函子之间的关系的话，你就会明白在类型类定义的时候为什么要使用类型变量。关于类型类，我还有两点要告诉大家：一个是在Haskell里面，一个类型类是可以形成子类的，就是sub-class这个概念使用与Haskell的类型类；第二个就是一个类型类可以实例化，实例化是什么意思呢？函子是一堆箭头到另外一个范畴中一堆箭头之间的态射吗？当我们把态射具体到某一个或者是某一些箭头上，我们把这个叫做类型类的实例化，这个在Haskell中是由直接的语阀来表达的。很自然的，一个类型类可以生成许多的这个类型类实例，这个刚刚解释过了。反过来说，一个类型类的实例可以看成是许许多多类型类实例化得到的。也就是说，在Haskell中，类型类和类型类的实例可以产生多多对应的关系。这个是比较费解的，我们把这个概念放在函子的框架下去看，也很好理解。函子有许多，不止一个对不对？从一个范畴相互发，投影到其他的许许多多的范畴中会产生许许多多的函子，也就是可以定义许许多多的类型类。前面我讲范畴和函子的时候，我讲到了中国这个范畴向美国这个范畴的态射，形成了一个函子。实际上中国也可以向欧洲、俄罗斯和东南亚等等国家和地区形成函子关系呢？一样也是可以的。从这个意义上上讲，一个类型类的实例属于许多的类型类。当然这里还有一个关系就是，你要成为一个类型类的实例，你可能首先需要成为另外一个类型类的实例，这里有一个先决条件的关系。这个和我前面说的，一个类型类可以形成自己的子类也有关系，也有可能这两个映射在逻辑上有先后的次序，你需要去遵守。这个问题我们留在Haskell编程实践中去讲解。

到这里，我第一轮涉及到的类型类和类型变量基本上就讲完了。在Haskell里面有data（数据）、type（类型）、newtype（新类型）、class（类）、instance（实例）等等这样一些关键词，这些关键词都是围绕我前面讲的三个概念，包括类型、类型变量和类型类而提供的，所以大家学习Haskell的时候如果能够结合范畴论的背景类学习的话，会有事半功倍之效。在明白这些概念之后，我就可以回过头去讲我们第二轮中的关于函数、函子和单子的概念中的单子，这是下一讲的主题。