西海数据丨推荐 让一切变得经济实惠，贪心算法浅析

Posted 2021-04-25 NoSQLt

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贪心算法的本质：每一步到目前为止的最好的方案

优点：选择对象是单一的。

贪心算法的基本框架：可选对象的全集 S； 经每步已选对象的集合T；

可想而知，T是S的一个子集。

判断解合法的函数 isvalid（T)； 评价解的函数 payoff（T）；

从S中挑选出子集T，使T合法 即 isvalid（T）==true，并且使payoff（T）的值最大

算法：从空集开始，每次加一个元素，使得payoff的值尽可能的大。

读到这，我们会觉得贪心算法智商大过10的人都能想到，这一点是谁都承认的，但是贪心算法真正的难点是证明贪心选择的性质。小编在这里用正常的人话解释一下这句话就是说 如何证明这个子集就是最优解。这或许就会难到一部分人，那就随我继续往下看。

首先比较动态规划和贪心算法：

动态规划： choice（X）= max{ choice（Y）+ payoff （y，x）}

状态x下最优解 状态y下最优解 状态转换时的收益

动态规划中 X是固定的，Y取决于X

贪心算法： choice（X）= choice（Y） + max{payoff （y，x）}

贪心算法中，Y是固定的，选收益最大的，再变到X状态。X取决于Y。

举个俗套的例子 换零钱问题 用 1，2，5 分钱 凑出 n 这个面值，且使用的硬币要最少。

贪心算法的本质就是追求利益的最大化，怎么用硬币最少？那就尽可能多使用5 分硬币，之后尽可能多的用2分，最后才是1分补齐。

现在是重点啦，如何证明我的贪心算法是对的

若n=5k，则所有自然数可以用 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4来表示。

k=0时，n=0，1，2，3，4用枚举法便可证明贪心选择是对的；

若k=m时成立，那么k=m+1时是否成立

n=5（m+1），他之前用硬币补足的面额可能是 5（m+1）-1； 5（m+1）-2和 5（m+1)-5.

之前为 5（m+1）-1时，m个5分，两个2分，再加上现在的1分才是5（m+1）；

之前为 5（m+1）-2时，m个5分，一个2分，一个1分，再加上现在的2分才是5（m+1）；

之前为 5（m+1）-5时，m个5分，再加上现在的5分 ，才是5（m+1）；

上述三种可视为动态规划的三种情况，分别用了m+3，m+3和m+1个硬币。也证明了贪心算法的成立。

但不是所有都能用贪心算法，若面值为1，2，5，7 。并要求凑出10时，只顾追求用最多的7反倒不是最好的选择。

之前讲过的背包问题用贪心算法也可以巧妙解决，在此附上贪心算法的代码（以零钱问题为例）

const unsigned int N = 7; //钱币的种类数

const unsigned int a[N] = {1,2,5,10,20,50,100} ; //钱币的面额

const unsigned int J = n; //要找的零钱数（实际问题中n是输入的实数）

int i=N-1,j=J,r[N]={0};

while(j>0)

{

r[i]=j/a[i];

j-=r[i]*a[i];

i--;

}

for(size_t i=0;i<N;i++)

{

cout<<r[i]<<" ";

greedy_sum += r[i];

}