算法与编程：删去K个数字后的最小值问题（贪心算法与栈）

Posted 2021-04-25 白珍名师工作室

展现独立思想  博采百家众长

汇集涓涓细流  共向辽阔海洋 

---

（摘自网络，作者为“程序员小灰”）

小白同学与大黄老师

大黄老师：小白同学，考你一道算法题。给定一个整数，从整数当中删去K个数字，要求由剩余数字所构成的新整数尽可能小，应该如何选取被删去的数字。

 

如：给定整数1593212，删去3个数字593，新整数的最小值是1212。

给定整数30200，删去1个数字3，新整数的最小值是200。

给定整数10，删去2个数字10，所得到的最小值是0。

 

要注意：给定的整数大小有可能超过long类型范围，所以要用字符串表示。

 

小白同学：听起来挺有意思，让我想想……

 

大黄老师：先说说你的第一感觉，为了让新整数尽可能小，什么样的数字应该优先删除？

 

小白同学：我知道！肯定是优先删除最大的数字，先删9，再删8，……

 

大黄老师：那可不一定，比如3549，你确定应该先删9？

 

小白同学：不对，应该先删5，最小值是349。那么，应该怎样找到删除K个数字后的最小值呢？

 

大黄老师：这个题目要求删去K个数字，但我们不妨把问题简化一下，如果只删除1个数字，如何让新整数值最小？

 

小白同学：我的第一感觉是删除最大的数字，但这个策略好像不太对……

 

大黄老师：数字的大小固然重要，但数字的位置更加重要，一个整数的最高位哪怕只是减少1，对数值的影响也是非常大的。

 

比如给定一个整数 541270936，要求删去一个数，让剩下的整数尽可能小。

 

此时，无论删除哪一个数字，最后的结果都是从9位整数变成8位整数。既然同样是8位整数，我们显然应该优先把高位的数字降低，这样对新整数的值影响最大。

 

如何把高位的数字降低呢？很简单，我们把原整数的所有数字从左到右进行比较，如果发现某一位的数字大于它右面的数字，那么在删除该数字后，必然会使得该数位的值降低，因为右面比它小的数字顶替了它的位置。

 

在咱们这个例子中，数字5右侧的数字4小于5，所以删除数字5，最高位数字降低成了4。

 

大黄老师：对于整数541270936，删除1个数字后的最小值是41270936，如果再删除1个呢，应该删哪个？

 

小白同学：应该是4！因为从左向右遍历，数字4是第一个比右边数字大的数（4>1）。

 

大黄老师：很好，那么接下来呢？从刚才的结果中再删除1个数字。

 

小白同学：这次的情况有些复杂。1<2，2<7，7>0，应该删除7。

 

大黄老师：不错，我们每一步求得删除1个数字的最小值，历经3次，相当于求得删除K=3的最小值。像这样依次求得“局部最优解”，最终得到“全局最优解”的算法思想，叫做“贪心算法”。

 

小白同学：明白了。

 

大黄老师：按照这个思路，你用代码来实现吧。

 

小白同学：好，我写一写试试。

 小白同学的代码使用了两层循环，外层循环基于删除次数（k），内层循环从左到右遍历所有数字。

 

当遍历到需要删除的数字时，利用字符串的自身方法subString() 把对应数字删除，并重新拼接字符串。

 

显然，这段代码的时间复杂度是O（kn）。

 

大黄老师：好的，这段代码在功能上是没有问题的。Leetcode网站上刚好有这个题目，你可以把代码提交到那上面试试。

 

小白同学：好呀，让我用代码把其他小伙伴吓哭。

 

结果，提交以后……

 

 （恭喜你，打败了16.56%的小伙伴！）

 

小白同学：原来我的代码是垫底的呀！

 大黄老师：没关系，我们来分析一下问题出在哪里。

 

1.每一次内层循环，都需要从头遍历所有数字

 

比如给定的整数是 11111111111114132，我们在第一轮循环中，需要遍历大部分数字，一直遍历到数字4，发现4>1，从而删除4。

 

以目前的代码逻辑，下一轮循环中，我们要从头开始遍历，再次重复遍历大部分数字，一直遍历到数字3，发现3>2，从而删除3。

 

事实上，我们应该停留在上一次删除的位置继续进行比较。而不是从头开始。

 

2.subString方法本身性能不高

 

subString方法的底层实现，涉及到了新字符串的创建，以及逐个字符的拷贝。这个方法自身的时间复杂度是O（n）。

 

因此，我们应该避免在每删除以后数字后就调用subString方法。

 

小白同学：那么，应该怎样来优化呢？

 

大黄同学：以K作为外循环，遍历数字作为内循环，需要额外考虑的因素很多。我们不妨逆转一下思路，以遍历数字作为外循环，K作为内循环，可以写出非常简洁的代码。我们来看一看：

 

代码中非常巧妙地运用了栈的特性，在遍历原整数的数字时，让所有数字一个个入栈，当某个数字需要删除时，让该数字出栈。最后，程序把栈中的元素转化为字符串结果。

 

我们仍然以整数 541270936，k=3 为例：

 

遍历到数字5，数字5入栈：

 

遍历到数字4，发现栈顶5>4，栈顶5出栈，数字4入栈：

 

遍历到数字1，发现栈顶4>1，栈顶4出栈，数字1入栈：

 继续遍历数字2，数字7，依次入栈。

 

遍历数字0，发现栈顶7>0，栈顶7出栈，数字0入栈：

 

此时k的次数已经用完，无需再比较，剩下的数字一口气入栈：

 此时栈中的元素就是最终的结果。

代码只对所有数字遍历了一趟，遍历的时间复杂度是O（n），而后把栈转化为字符串的时间复杂度也是O（n），所以最终的时间复杂度是O（n）。

 

同时，程序中利用栈来回溯遍历过的数字以及删除数字，所以程序的空间复杂度是O（n）。

 

 

小白同学：虽然不是第一名，但超越了86.90%的小伙伴。

 

大黄同学：这段代码肯定还存在一些优化的空间，继续努力呀。

 

小白同学：谢谢老师！

---

欢迎关注白珍名师工作室