贪心算法：背包问题

Posted 2021-04-25 中学生编程与信息学竞赛自学

本课程是从少年编程网转载的课程，目标是向中学生详细介绍计算机比赛涉及的编程语言，数据结构和算法。编程学习最好使用计算机，请登陆 www.3dian14.org (免费注册，免费学习)。

之前的课程中，我们学习了运用贪心算法解决问题的两个例子：最少纸币问题和埃及分数问题。在进一步学习用贪心算法解决问题的技巧之前，我们先做一个小结。

• 贪心算法逐步构建问题的解决方案，总是选择能直接带来当前最大利益的步骤。

• 贪心算法可以用于解决优化类的问题，特别是当该问题具有如下的特征：在每一步都选择当前看起来的最佳选择，并且最后能得到整个问题的最优解决方案。

• 如果一个贪心算法可以解决某个问题，通常它也是解决该问题的最佳方案，因为贪心算法通常比其他算法，例如动态规划(Dynamic Programming，DP)算法，更加高效。

但是贪心算法并不能适用所有优化问题的场合。

例如它可以用于解决分数背包问题（Fractional Knapsack），但是它不适用于0-1背包问题（0-1 Knapsack）。

0-1背包问题：我们有一堆物品S={a1,a2,...,an}，每一个物品ai都有对应的重量wi和价值vi。现在有一个背包，这个背包的容量为W，现在要将选择物品放入背包，所选物品的总重量不能超出背包容量，并使得背包里面物品的价值最大。注意：物品不能只选取其中一部分，必须选择整个(1)，或者不选(0)！

分数背包问题：这个问题和上面的问题相似，唯一不同的就是该问题里可以对物品可以进行分割，即可以只选取一个物品ai的一部分放入背包。

用贪心算法解决分数背包问题，采取的策略是“每次从剩余的物品中选择Vi/Wi 比值最大的物品放入背包”，它总能找到最优解。但是对于0-1分数背包问题，贪心算法不能保证找到最优解。

我们来看一个例子。

假设我们有三个物品a1,a2,a3以及一个容量W为50的背包，这三个物品{重量,价值}分别为：a1 {w1=10,v1=60}、a2 {w2=20,v2=100}以及a3 {w3=30,v3=120}。

我们对每个物品计算价值与重量的比值：v1/w1=6，v2/w2=5，v3/w3=4。

采用贪心算法，首先选择比值最高(也就是单位重量价值最高)的a1放入背包，然后再放入a2，因为此时a3不能全部放入背包，于是我们把a3进行切割，把它的一部分放入背包。请看下图。

为什么我们不能用贪心算法来解决0-1背包问题呢？

我们还是按照之前的将平均价值最大的放入背包里面，放入a1，然后再加入a2，此时已经不能再把a3整体放入了，此时得到背包物品总价值为60+100=160。

但这明显不是最优解！随便举一个反例就可以证明：只放入a2和a3，就可以使总价值达到100+120=220。

下面列出了一些运用贪心算法解决问题的非常有名的例子：

• Kruskal的最小生成树（MST）：在Kruskal的算法中，我们通过逐步挑选边来创建MST，贪心选择策略是选择迄今为止构造的MST中不会导致循环的具有最小权重的边。

• Prim的最小生成树：在Prim的算法中，我们通过逐步挑选边来创建MST。我们维护两组集合：一组已经包含在MST中的顶点和一组尚未包括的顶点。贪心选择策略是选择连接两组集合的具有最小权重的边。

• Dijkstra的最短路径：Dijkstra的算法与Prim的算法非常相似。最短路径树是通过逐步选择边构建的。我们维护两组集合：一组已包含在树中的顶点和一组尚未包括的顶点。贪心选择策略是选择连接两个集合的边，并且它属于从源点到包含尚未包含的顶点的集合的最小权重路径上。

• 霍夫曼编码：霍夫曼编码是一种无损压缩技术。它为不同的字符分配可变长度的位代码。贪心选择策略是将具有最小比特长度代码分配给最常见的字符。

现在我们给出一个贪心算法的课后练习题：

问题：给你n个活动的开始时间和结束时间，从中选择你可以参与的活动，但是同一时间你只能参与一个活动，请找出你可以参与的最多活动数。

例如：考虑下面3个活动a1,a2和a3, 它们{开始时间点,结束时间点}分别为：

a1 {start=10,finish=20}

a2 {start=12,finish=25}

a3 {start=20,finish=30}

这种情形下，一个人最多只能参与2个活动：a1和a3，它们开始的时间点分别为10和20。

请你设计一种贪心算法解决下面的类似问题：考虑下面6个活动，请找出你可以参与的最多活动数

a1 {start=0,finish=6}

a2 {start=1,finish=2}

a3 {start=3,finish=4}

a4 {start=5,finish=7}

a5 {start=5,finish=9}

a6 {start=8,finish=9}

我们下一课将对活动选择问题进行详细讲解。