贪心算法：作业排序问题

Posted 2021-04-25 中学生编程与信息学竞赛自学

本课程是从少年编程网转载的课程，目标是向中学生详细介绍计算机比赛涉及的编程语言，数据结构和算法。编程学习最好使用计算机，请登陆 www.3dian14.org (免费注册，免费学习)。

上一堂课程，我们学习了如何选择活动，使得在不发生冲突的前提下，能参与尽可能多的活动，这里没有考虑到不同的活动是否会带来不同的收益，假设它们的收益是一样的。

现在我们把问题修改下：

有一系列作业，每个作业必须在各自的截止时间点之前完成，并且已知完成每个工作需要花费的时间以及带来的收益。为了简单起见，假设完成每个工作都需要相等的单位时间，这样作业的截至时间点也就是单位时间的倍数。再假设一次只能安排一个作业，完成一个作业后才能继续下一个作业。问：如何选择作业并安排次序使它们能带来的总收益为最大？

我们用例子A来说明。

【输入】有4个作业a,b,c,d。它们各自的截止时间和能带来的收益如下：

【输出】请找出一种能带来最大收益的作业执行次序。

在例子中，下列作业次序能带来最大的收益：｛c, a｝

完成作业c，能带来的收益是40；因为做作业c，截止时间为1，它必须安排在0-1之间执行。这样已经错过了b或d的截止时间点（1），因此无法再选择b或d，只能选择作业a，a的截至时间点为4，来得及完成。做作业a的收益是20，因此完成作业c和a能带来的总收益是 40+20=60。而选择其他次序的作业，都无法超过收益60。   

参见下面的动图：

我们再看一个例子B

【输入】有5个作业a,b,c,d,e。它们各自的截止时间和能带来的收益如下：

请你选择和安排能获取最大收益的作业次序，先不给出答案，请你先思考，如何解答，然后再继续阅读。

算法分析

一个简单粗暴的算法就是生成给定作业集合的所有子集，并检查每一个子集以确定该子集中作业的可行性，然后找出哪个可行子集可以产生最大收益。 这是一个典型的贪心算法。

算法思路如下：

1）根据收益递减顺序对所有作业进行排序。

2）将结果序列初始化，并把已排序作业中的第一个作业加入

3）依次按下面的规则处理剩余的n-1个作业

     如果把当前作业加入结果序列，不会错过它的截止时间，那么把它加入结果序列；

     否则忽略当前的作业。

该算法中最费时的操作是为作业找一个可用的作业空闲时间窗口，要保证完成尽可能多的高收益作业。可以采取的策略是我们为每个作业，遍历作业窗口并分配可用的最晚空闲时间窗口（当然必须在截止时间之前）。例如，假设作业J1的截止时间为t = 5，我们可以为此作业指定最晚的时间窗口（该时间窗口是空闲的，小于截止时间），就是4-5之间的空闲时间段。 之后另一个截止时间为5的作业J2再加入进来，为它分配的最晚时间窗口将会是3-4，因为已经将4-5分配了给作业J1。

那么为什么一定要为作业分配最晚的空闲时间窗口呢？而不是随意为它分配一个可用的时间窗口呢？

例如：假设作业J1的截止时间d1 = 5，产生效益40；作业J2的截止时间d2 = 1，产生效益20。假设对于作业J1，我们分配了0-1之间的时间窗，因此我们将在该时间窗口执行作业J1，导致现在无法执行作业J2（因为J1无法在截止时间d2=1之前完成了）。但是，如果为J1分配4-5之间的时间窗，则J2可以执行。因此为作业分配最晚的空闲时间窗口可以尽可能多地执行其他作业。

 实例分析

我们采用该算法来分析例子B。

1）先按收益从大到小排序

2）把最大收益的作业a加入结果序列,得到｛a}，完成a需要1个单位时间，它的截止时间是2，因此可以为它安排的最晚时间窗口是1-2

3）接着看作业c, 它的截止时间也为2，不过此时1-2之间已经被a占用了，因此它最晚只能被安排在0-1之间执行。把c加入结果序列 ，得到{a,c}，

4）接着看作业d, 它的截止时间为1，无法为它安排执行了，因为它唯一能执行的时间窗口0-1已经被作业c占据了

5）同样作业b, 它的截止时间为1，也不能加入结果序列

6)  最后看作业e, 它的截止时间为3，可以为它安排的最晚空闲执行时间段为2-3，可以加入结果序列，得到｛a,c,e｝

因此例子B的答案是 ｛a,c,e｝,您答对了吗？

请参考下面的动图：

算法实现

算法的C++代码实现如下：

#include<iostream> 

#include<algorithm> 

using namespace std; 

  

// 采用结构类型表示作业 

struct Job 

{ 

   char id;      // 作业编号 

   int dead;    // 截止时间 

   int profit;  // 完成作业获取的收益

}; 

  

// 该函数用于按收益大小排序 

bool comparison(Job a, Job b) 

{ 

     return (a.profit > b.profit); 

} 

  

//  按收益最大化选择作业并进行排序

void schedulingJob(Job arr[], int n) 

{ 

    // 按收益递减次序对作业队列排序 

    sort(arr, arr+n, comparison); 

  

    int result[n]; // 保存结果序列，记录对应的作业数组下标 

    bool slot[n];  // 记录对应时间窗口是否被占用 

  

    // 把所有时间窗口初始化为空闲状态 

    for (int i=0; i<n; i++) 

        slot[i] = false; 

  

    // 对排好序的作业队列依次执行 

    for (int i=0; i<n; i++) 

    { 

      //试图为当前作业找到可用的最晚的空闲时间窗口 

       //注意是从晚到早依次检查 

       for (int j=min(n, arr[i].dead)-1; j>=0; j--) 

       { 

          // 找到一个空闲时间窗口 

          if (slot[j]==false) 

          { 

             result[j] = i;  // 把找到的作业加入结果序列 

             slot[j] = true; // 标记该时间窗口被占用 

             break; 

          } 

       } 

    } 

  

    // 输出结果 

    for (int i=0; i<n; i++) 

       if (slot[i]) 

         cout << arr[result[i]].id << " "; 

} 

   

int main() 

{ 

    Job arr[] = { {'a', 2, 100}, {'b', 1, 19}, {'c', 2, 27}, 

                   {'d', 1, 25}, {'e', 3, 15}}; 

    int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]); 

    cout << "The maximum profit sequence of job:"; 

    schedulingJob(arr, n); 

    return 0; 

} 

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