每周算法贪心算法（Greedy Algorithm）

Posted 2021-04-25 西南交通大学ACM协会

不知不觉就要开学了，俺又来水推送了

前言

        贪心是人类自带的能力，贪心算法是在贪心决策上进行统筹规划的统称。

比如一道常见的算法题----跳一跳：

有n个盒子排成一行，每个盒子上面有一个数字a[i]，表示最多能向右跳a[i]个盒子；
小明站在左边第一个盒子，请问能否到达最右边的盒子？
比如说：[1, 2, 3, 0, 4] 可以到达第5个盒子；
[3, 2, 1, 0, 4] 无法到达第5个盒子；

我们自然而然能产生一种解法：尽可能的往右跳，看最后是否能到达。
本文即是对这种贪心决策的介绍。

基础概念

        狭义的贪心算法指的是解最优化问题的一种特殊方法，解决过程中总是做出当下最好的选择，因为具有最优子结构的特点，局部最优解可以得到全局最优解；这种贪心算法是动态规划的一种特例。能用贪心解决的问题，也可以用动态规划解决。

        而广义的贪心指的是一种通用的贪心策略，基于当前局面而进行贪心决策。以跳一跳的题目为例：
我们发现的题目的核心在于向右能到达的最远距离，我们用maxRight来表示；
此时有一种贪心的策略：从第1个盒子开始向右遍历，对于每个经过的盒子，不断更新maxRight的值。

思考过程

        贪心的思考过程类似动态规划，依旧是两步：大事化小，小事化了。
大事化小：
        一个较大的问题，通过找到与子问题的重叠，把复杂的问题划分为多个小问题；
小事化了：
        从小问题找到决策的核心，确定一种得到最优解的策略，比如跳一跳中的向右能到达的最远距离；

        在证明局部的最优解是否可以推出全局最优解的时候，常会用到数学的证明方式。

具体应用

纸币找零问题

        有1元、2元、5元、10元的纸币分别有a[1], a[2], a[3], a[4]张，要用这些纸币凑出m元，至少要用多少张纸币？

如果是动态规划：
要凑出m元，必须先凑出m-1、m-2、m-5、m-10元，我们用dp[i]表示凑出i元的最少纸币数；
有 dp[i]=min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5], dp[i-10]) + 1;
容易知道dp[1]=dp[2]=dp[5]=dp[10]=1；
根据以上递推方程和初始化信息，可以容易推出dp[1~m]的所有值。

似乎有些不对？平时我们找零钱有这么复杂吗？
从贪心算法角度出发，当m>10且我们有10元纸币，我们优先使用10元纸币，然后再是5元、2元、1元纸币。
从日常生活的经验知道，这么做是正确的，但是为什么？

假如我们把题目变成这样，原来的策略还能生效吗？

有1元、5元、7元的纸币分别有a[1], a[2], a[3]张，要用这些纸币凑出m元，至少要用多少张纸币？

接下来我们来分析这种策略：
已知对于m元纸币，1，2，5元纸币使用了a，b，c张，我们有a+2b+5c=m；假设存在一种情况，1、2、5元纸币使用数是x，y，z张，使用了更少的5元纸币（z<c），且纸币张数更少（x+y+z<a+b+c），即是用更少5元纸币得到最优解。
我们令k=5*(c-z)，k元纸币需要floor(k/2)张2元纸币，k%2张1元纸币；（因为如果有2张1元纸币，可以使用1张2元纸币来替代，故而1元纸币只能是0张或者1张）
容易知道，减少(c-z)张5元纸币，需要增加floor(5*(c-z)/2)张2元纸币和(5*(c-z))%2张纸币，而这使得x+y+z必然大于a+b+c。

由此我们知道不可能存在使用更少5元纸币的更优解。
所以优先使用大额纸币是一种正确的贪心选择。

对于1、5、7元纸币，比如说要凑出10元，如果优先使用7元纸币，则张数是4；（1+1+1+7）
但如果只使用5元纸币，则张数是2；（5+5）
在这种情况下，优先使用大额纸币是不正确的贪心选择。（但用动态规划仍能得到最优解）

服务器任务安排问题

服务器有n个任务要执行，每个任务有开始时间Si秒和结束时间Ti秒，同一时间只能执行一个任务。
问如何安排任务，使得在时间m内尽可能多的完成任务。

如果是动态规划：
前i秒的完成的任务数，可以由前面1~i-1秒的任务完成数推过来。
我们用dp[i]表示前i秒能完成的任务数；
在计算前i秒能完成的任务数时，对于第j个任务，我们有两种决策：
1、不执行这个任务，那么dp[i]没有变化；
2、执行这个任务，那么必须腾出来(Sj, Tj)这段时间，那么dp[i] = max(dp[i], dp[ S[j] ] ) + 1；
比如说对于任务j如果是第5秒开始第10秒结束，如果i>=10，那么有dp[i]=max(dp[i], dp[5] + 1)；（相当于把第5秒到第i秒的时间分配给任务j）

再考虑贪心的策略，现实生活中人们是如何安排这种多任务的事情？我换一种描述方式：

小明在学校兼职，小明一天兼职的时间有10个小时；
现在有多个兼职岗位，每个岗位有个开始时间和结束时间，小明同一时间只能做一个兼职；
问小明每天最多能做几份兼职？

我们自然而然会想到一个策略：先把结束时间早的兼职给做了！
为什么？
因为先做完这个结束时间早的，能留出更多的时间做其他兼职。
我们天生具备了这种优化决策的能力。

总结

贪心的学习过程，就是对自己的思考进行优化。

是把握已有信息，进行最优化决策。

这里是给大佬们准备的一大堆题：

https://www.luogu.org/problem/list?tag=7

这期就到这里，我们开学再见ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~