贪心算法之最小生成树(Prim和kruskal算法)

Posted 2021-04-25 AI小白奋斗史

转载：勿在浮沙筑高台

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零.相关概念

关于图的几个概念定义：

连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。

强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。

连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权：权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。

生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。

最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

一般求最小生成树有Prim和Kruskal算法

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一.prim算法

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 图的所有顶点集合为V；初始令集合u={s},v=V−u；

2. 在两个集合u,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0并入到集合u中。

3. 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

由于不断向集合u中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组closedge,用来维护集合v中每个顶点与集合u中最小代价边信息。

prim算法伪代码

算法：Prim（G,E,W）
  1.S <—— {1}
  2.while V-S ≠ Ø do
  3.    从V-S中选择j，使得 j 到 S 中顶点的边权最小
  4.    S <—— S ∪ {j}
  5.return Q

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二.Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；

2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；

3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,viui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。

4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

Kruskal算法伪代码

算法：Kruskal(G,E,W)
输入：连通图 G # 顶点数 n，边数 m
输出：G 的最小生成树
  1.权值从小到大排序E的边，E={e1,e2,...,em}
  2.T <—— Ø 
  3. repeat
  4.    e <—— E 中的最短边
  5.    if e 的两端点不在同一个连通分支
  6.    then T <—— T ∪ {e}
  7.    E <—— E - {e}
  9. until T 包含了 n-1 条边

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三.两种算法的比较

Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于，Kruskal在找最小生成树结点之前，需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中，如果加入时产生回路就跳过这条边，加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后，就找出了最小生成树。

Kruskal算法在效率上要比Prim算法快，因为Kruskal只需要对权重边做一次排序，而Prim算法则需要做多次排序。尽管Prim算法每次做的算法涉及的权重边不一定会涵盖连通图中的所有边，但是随着所使用的排序算法的效率的提高，Kruskal算法和Prim算法之间的差异将会清晰的显性出来。

关于时间复杂度：

prim:该算法的时间复杂度为O(n^2)。与图中边数无关，该算法适合于稠密图。

kruskal:需要对图的边进行访问，所以kruskal算法的时间复杂度只和边有关系，其时间复杂度为O(eloge)。适合稀疏图。

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