前端也能学算法：由浅入深讲解贪心算法

Posted 2021-04-25 进击的大前端

贪心算法是一种很常见的算法思想，而且很好理解，因为它符合人们一般的思维习惯。下面我们由浅入深的来讲讲贪心算法。

找零问题

我们先来看一个比较简单的问题：

假设你是一个商店老板，你需要给顾客找零n元钱，你手上有的钱的面值为：100元，50元，20元，5元，1元。请问如何找零使得所需要的钱币数量最少？

例子：你需要找零126元，则所需钱币数量最少的方案为100元1张，20元1张，5元1张，1元1张。

这个问题在生活中很常见，买东西的时候经常会遇到，那我们一般是怎么思考的呢？假设我们需要找零126元，我们先看看能找的最大面值是多少，我们发现126比100大，那肯定可以找一张100块，然后剩下26元，再看26能匹配的最大面值是多少，发现是20，那找一张20的，还剩6块，同样的思路，找一张5块的和1块的。这其实就是贪心算法的思想，每次都很贪心的去找最大的匹配那个值，然后再找次大的。这个算法代码也很好写：

const allMoney = [100, 50, 20, 5, 1]; // 表示我们手上有的面值function changeMoney(n, allMoney) { const length = allMoney.length; const result = []; // 存储结果的数组，每项表示对应面值的张数 for(let i = 0; i < length; i++) { if(n >= allMoney[i]) { // 如果需要找的钱比面值大，那就可以找，除一下看看能找几张 result[i] = parseInt(n / allMoney[i]); n = n - result[i] * allMoney[i]; // 更新剩下需要找的钱 } else { // 否则不能找 result[i] = 0; } }
 return result;}
const result = changeMoney(126, allMoney);console.log(result); // [1, 0, 1, 1, 1]

贪心算法

上面的找零问题就是贪心算法，每次都去贪最大面值的，发现贪不了了，再去贪次大的。从概念上讲，贪心算法是：

从上面的定义可以看出，并不是所有问题都可以用贪心算法来求解的，因为它每次拿到的只是局部最优解，局部最优解组合起来并不一定是全局最优解。下面我们来看一个这样的例子：

背包问题

背包问题也是一个很经典的算法问题，题目如下：

有一个小偷，他进到了一个店里要偷东西，店里有很多东西，每个东西的价值是v，每个东西的重量是w。但是小偷只有一个背包，他背包总共能承受的重量是W。请问怎么拿东西能让他拿到的价值最大？

其实背包问题细分下来又可以分成两个问题：0-1背包和分数背包。

0-1背包：指的是对于某个商品来说，你要么不拿，要么全拿走，不能只拿一半或者只拿三分之二。可以将商品理解成金砖，你要么整块拿走，要么不拿，不能拿半块。

分数背包：分数背包就是跟0-1背包相反的，你可以只拿一部分，可以拿一半，也可以拿三分之二。可以将商品理解成金砂，可以只拿一部分。

下面来看个例子：

这个问题用我们平时的思维也很好想，要拿到总价值最大，那我们就贪呗，就拿最贵的，即价值除以重量的数最大的。但是每次都拿最贵的，是不是最后总价值最大呢？我们先假设上面的例子是0-1背包，最贵的是v1，然后是v2，v3。我们先拿v1, 背包还剩40，拿到总价值是60，然后拿v2，背包还剩20，拿到总价值是160。然后就拿不下了，因为v3的重量是30，我们背包只剩20了，装不下了。但是这个显然不是全局最优解，因为我们明显可以看出，如果我们拿v2，v3，背包刚好装满，总价值是220，这才是最优解。所以0-1背包问题不能用贪心算法。

但是分数背包可以用贪心，因为我们总是可以拿最贵的。我们先拿了v1, v2，发现v3装不下了，那就不装完了嘛，装三分之二就行了。下面我们用贪心来实现一个分数背包：

const products = [ {id:1, v: 60, w: 10},  {id:2, v: 100, w: 20},  {id:3, v: 120, w: 30}]; // 新建一个数组表示商品列表，每个商品加个id用于标识
function backpack(W, products) { const sortedProducts = products.sort((product1, product2) => { const price1 = product1.v / product1.w; const price2 = product2.v / product2.w; if(price1 > price2) { return -1; } else if(price1 < price2) { return 1; }
 return 0; }); // 先对商品按照价值从大到小排序
 const result = []; // 新建数组接收结果 let allValue = 0; // 拿到的总价值 const length = sortedProducts.length;
 for(let i = 0; i < length; i++) { const sortedProduct = sortedProducts[i]; if(W >= sortedProduct.w) { // 整个拿完 result.push({ id: sortedProduct.id, take: 1, // 拿的数量 }); W = W - sortedProduct.w; allValue = allValue + sortedProduct.v; } else if(W > 0) { // 只能拿一部分 result.push({ id: sortedProduct.id, take: W / sortedProduct.w,  }); allValue = allValue + sortedProduct.v * (W / sortedProduct.w); W = 0; // 装满了 } else { // 不能拿了 result.push({ id: sortedProduct.id, take: 0,  }); } }
 return {result: result, allValue: allValue};}
// 测试一下const result = backpack(50, products);console.log(result);

运行结果：

0-1背包

前面讲过0-1背包不能用贪心求解，我们这里还是讲讲他怎么来求解吧。要解这个问题需要用到动态规划的思想，关于动态规划的思想，可以看看我这篇文章^[1]，如果你只想看看贪心算法，可以跳过这一部分。假设我们背包放了n个商品，W是我们背包的总容量，我们这时拥有的总价值是$D(n, W)$。我们考虑最后一步，

假如我们不放最后一个商品，则总价值为$D(n-1, W)$

假设我们放了最后一个商品，则总价值为最后一个商品加上前面已经放了的价值，表示为$v_n + D(n-1, W-w_n)$，这时候需要满足的条件是$ W >= w_n$，即最后一个要放得下。

我们要求的最大解其实就是上述两个方案的最大值，表示如下： 

D(n, W) = max(D(n-1, W), v_n + D(n-1, W-w_n))

递归解法

有了递推公式，我们就可以用递归解法了：

const products = [ {id:1, v: 60, w: 10},  {id:2, v: 100, w: 20},  {id:3, v: 120, w: 30}]; // 新建一个数组表示商品列表，每个商品加个id用于标识
function backpack01(n, W, products) { if(n < 0 || W <= 0) { return 0; }
 const noLast = backpack01(n-1, W, products); // 不放最后一个
 let getLast = 0; if(W >= products[n].w){ // 如果最后一个放得下 getLast = products[n].v + backpack01(n-1, W-products[n].w, products); }
 const result = Math.max(noLast, getLast);
 return result;}
// 测试一下const result = backpack01(products.length-1, 50, products);console.log(result); // 220

动态规划

递归的复杂度很高，我们用动态规划重写一下：

const products = [ {id:1, v: 60, w: 10},  {id:2, v: 100, w: 20},  {id:3, v: 120, w: 30}]; // 新建一个数组表示商品列表，每个商品加个id用于标识
function backpack01(W, products) { const d = []; // 初始化一个数组放计算中间值，其实为二维数组，后面填充里面的数组 const length = products.length;
 // i表示行，为商品个数，数字为 0 -- (length - 1) // j表示列，为背包容量，数字为 0 -- W for(let i = 0; i < length; i++){ d.push([]); for(let j = 0; j <= W; j++) { if(j === 0) { // 背包容量为0 d[i][j] = 0; } else if(i === 0) { if(j >= products[i].w) { // 可以放下第一个商品 d[i][j] = products[i].v; } else { d[i][j] = 0; } } else { const noLast = d[i-1][j];
 let getLast = 0; if(j >= products[i].w) { getLast = products[i].v + d[i-1][j - products[i].w]; }
 if(noLast > getLast) { d[i][j] = noLast; } else { d[i][j] = getLast; } } } }
 console.log(d); return d[length-1][W];}
// 测试一下const result = backpack01(50, products);console.log(result); // 220

回溯最优解

为了能够输出最优解，我们需要将每个最后放入的商品记录下来，然后从最后往前回溯，将前面的代码改造如下：

const products = [ {id:1, v: 60, w: 10},  {id:2, v: 100, w: 20},  {id:3, v: 120, w: 30}]; // 新建一个数组表示商品列表，每个商品加个id用于标识
function backpack01(W, products) { const d = []; // 初始化一个数组放计算中间值，其实为二维数组，后面填充里面的数组 const res = []; // 记录每次放入的最后一个商品, 同样为二维数组 const length = products.length;
 // i表示行，为商品个数，数字为 0 -- (length - 1) // j表示列，为背包容量，数字为 0 -- W for(let i = 0; i < length; i++){ d.push([]); res.push([]); for(let j = 0; j <= W; j++) { if(j === 0) { // 背包容量为0 d[i][j] = 0; res[i][j] = null;  } else if(i === 0) { if(j >= products[i].w) { // 可以放下第一个商品 d[i][j] = products[i].v; res[i][j] = products[i]; } else { d[i][j] = 0; res[i][j] = null; } } else { const noLast = d[i-1][j];
 let getLast = 0; if(j >= products[i].w) { getLast = products[i].v + d[i-1][j - products[i].w]; }
 if(noLast > getLast) { d[i][j] = noLast; } else { d[i][j] = getLast; res[i][j] = products[i]; // 记录最后一个商品 } } } }
 // 回溯res, 得到最优解 let tempW = W; let tempI = length - 1; const bestSol = []; while (tempW > 0 && tempI >= 0) { const last = res[tempI][tempW]; bestSol.push(last); tempW = tempW - last.w; tempI = tempI - 1; }
 console.log(d); console.log(bestSol); return { totalValue: d[length-1][W], solution: bestSol }}
// 测试一下const result = backpack01(50, products);console.log(result); // 220

上面代码的输出：

数字拼接问题

再来看一个贪心算法的问题，加深下理解，这个问题如下：

这个问题看起来也不难，我们有时候也会遇到类似的问题，我们可以很直观的想到一个解法：看哪个数字的第一个数字大，把他排前面，比如32和94，把第一位是9的94放前面，得到9432，肯定比32放前面的3294大。这其实就是按照字符串大小来排序嘛，字符大的排前面，但是这种解法正确吗？我们再来看两个数字，假如我们有728和7286，按照字符序，7286排前面，得到7286728，但是这个值没有728放前面的7287286大。说明单纯的字符序是搞不定这个的，对于两个数字a,b，如果他们的长度一样，那按照字符序就没问题，如果他们长度不一样，这个解法就不一定对了，那怎么办呢？其实也简单，我们看看a+b和b+a拼成的数字，哪个大就行了。

假设a = 728b = 7286字符串：a + b = "7287286"字符串：b + a = "7286728"比较下这两个字符串, a + b比较大，a放前面就行了, 反之放到后面

上述算法就是一个贪心，这里贪的是什么的？贪的是a + b的值，要大的那个。在实现的时候，可以自己写个冒泡，也可以直接用数组的sort方法:

const nums = [32, 94, 128, 1286, 6, 71];
function getBigNum(nums) { nums.sort((a, b) => { const ab = `${a}${b}`; const ba = `${b}${a}`;
 if(ab > ba) { return -1; // ab大，a放前面 } else if (ab < ba) { return 1;  }
 return 0; });
 return nums;}
const res = getBigNum(nums);console.log(res); // [94, 71, 6, 32, 1286, 128]

活动选择问题

活动选择问题稍微难一点，也可以用贪心，但是需要贪的东西没前面的题目那么直观，我们先来看看题目：

这个问题应该这么思考：为了能尽量多的安排活动，我们在安排一个活动时，应该尽量给后面的活动多留时间，这样后面有机会可以安排更多的活动。换句话说就是，应该把结束时间最早的活动安排在第一个，再剩下的时间里面继续安排结束时间早的活动。这里的贪心其实贪的就是结束时间早的，这个结论其实可以用数学来证明的：

下面来实现下代码：

const activities = [ {start: 1, end: 4}, {start: 3, end: 5}, {start: 0, end: 6}, {start: 5, end: 7}, {start: 3, end: 9}, {start: 5, end: 9}, {start: 6, end: 10}, {start: 8, end: 11}, {start: 8, end: 12}, {start: 2, end: 14}, {start: 12, end: 16},];
function chooseActivity(activities) { // 先按照结束时间从小到大排序 activities.sort((act1, act2) => { if(act1.end < act2.end) { return -1; } else if(act1.end > act2.end) { return 1; }
 return 0; });
 const res = []; // 接收结果的数组 let lastEnd = 0; // 记录最后一个活动的结束时间
 for(let i = 0; i < activities.length; i++){ const act = activities[i]; if(act.start >= lastEnd) { res.push(act); lastEnd = act.end } }
 return res;}
// 测试一下const result = chooseActivity(activities);console.log(result);

上面代码的运行结果如下：

总结

贪心算法的重点就在一个贪字，要找到贪的对象，然后不断的贪，最后把目标贪完，输出最优解。要注意的是，每次贪的时候其实拿到的都只是局部最优解，局部最优解不一定组成全局最优解，比如0-1背包，对于这种问题是不能用贪心的，要用其他方法求解。

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References

[1] 我这篇文章: https://juejin.im/post/6844904066879864846