数据结构与算法 通俗易懂讲解 二叉搜索树

Posted 2021-04-25 码农有道

树是一种非线性数据结构，其概念也不少。大家在初次接触树的时候，可能觉得它很难；之所产生这种感觉主要是由于树有一大堆陌生的概念、性质等内容。而当我真正的实现了二叉树再回过头来看它的相关概念和性质的时候，觉得原来它是如此的简单！

因此，建议在学习二叉树的时候：先对二叉树基本的概念、性质有个基本了解，遇到难懂的知识点，可以画图来帮助理解；在有个基本的概念之后，再亲自动手实现二叉查找树(这一点至关重要!)；最后再回过头来总结一下二叉树的理论知识时，你会发现其实一点不难！

这篇文章主要讲各种树的性质和定义。

树的介绍

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树的定义

树是一种数据结构，它是由n（n>=0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合，把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；

• 没有父节点的节点称为根节点；

• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
  

• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。
  

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树的基本术语

若一个结点有子树，那么该结点称为子树根的"双亲"，子树的根是该结点的"孩子"。有相同双亲的结点互为"兄弟"。一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。从根结点到某个结点的路径上的所有结点都是该结点的祖先，以下图为例：

结点的度：结点拥有的子树的数目，图中结点c的度为2。
叶子：度为零的结点，图中D、E、F都是叶子结点
树的度：树中结点的最大的度，图中结点c的度最大为2，因此树的度为2。

层次：根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次，图中树的高度为3。
无序树：如果树中结点的各子树之间的次序是不重要的，可以交换位置。
有序树：如果树中结点的各子树之间的次序是重要的, 不可以交换位置。
森林：0个或多个不相交的树组成。对森林加上一个根，森林即成为树；删去根，树即成为森林。

二叉树介绍

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二叉树定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。它有五种基本形态：二叉树可以是空集；根可以有空的左子树或右子树；或者左、右子树皆为空。

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二叉树性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为 2^{i-1} (i≥1)。

证明：下面用"数学归纳法"进行证明。
(01) 当i=1时，第i层的节点数目为2^{i-1}=2^{0}=1，命题成立。        

(02) 假设当i>1，第i层的节点数目为2^{i-1}。这个是根据第一步推断出来的！
下面根据这个假设，推断出"第(i+1)层的节点数目为2^{i}"即可。由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故"第(i+1)层上的结点数目" 最多是 "第i层的结点数目的2倍"。即，第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2^{i-1}=2^{i}。故假设成立，原命题得证！

性质2：深度为k的二叉树至多有2^{k}-1个结点(k≥1)。

证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，结点数最多。利用"性质1"可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：2⁰+2¹+…+2^k-1=2^k-1。故原命题得证！

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log₂ (n+1)。

证明：根据"性质2"可知，高度为h的二叉树最多有2^{h}–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log₂(n+1)。

性质4：二叉树中,设叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1。

证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以有等式一。
                n=n₀+n₁+n_2(等式一) 

另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总数是：n₁+2n₂。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为等式二。
                n=n₁+2n₂+1(等式二) 
由(等式一)和(等式二)计算得到：n₀=n₂+1。原命题得证！

不同形态二叉树

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满二叉树

定义：高度为h，并且由2^{h} –1个结点的二叉树，被称为满二叉树，其实不难看出，满二叉树的结点的度要么为0（叶子结点），要么为2（非叶子结点）

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完全二叉树

定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。

特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

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二叉查找树

定义：二叉查找树，又被称为二叉搜索树。其特点如下：设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，一句话就是左孩子比父节点小，右孩子比父节点大，还有一个特性就是”中序遍历“可以让结点有序。

可以看出，在二叉树中：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

• 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
  

• 没有键值相等的节点。

由于在实际应用中，二叉查找树的使用比较多，后面会有文章讲解二叉查找树的一些关键操作的代码实现。

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