数据结构与算法 Manacher 算法求最长回文子串

Posted 2021-04-25 码农有道

求一个字符串的最长回文子串是面试中经常出现的一道算法题，所谓的回文串是：一个字符串正着读和反着读是一样的，那它就是回文串。下面是一些回文串的实例。

12321   a    aba    abba    zhiuuihz

对于最长回文子串问题，最简单粗暴的办法是：找到字符串的所有子串，遍历每一个子串以验证它们是否为回文串。一个子串由子串的起点和终点确定，因此对于一个长度为n的字符串，共有n^2个子串。这些子串的平均长度大约是n/2，因此这个解法的时间复杂度是O(n^3)。

对于一个比较长的字符串，O(n^3)的时间复杂度显然是难以接受的。下面要讲的Manacher算法能够将O(n^3)降到O(n)。

Manacher算法

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数字符串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号如#。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 插入的是同样的符号，因此子串的回文性不受影响，原来是回文的串，插完之后还是回文的，原来不是回文的，依然不会是回文。

为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#（注意，下面的代码是用C语言写就，由于C语言规范还要求字符串末尾有一个'\0'所以正好OK，但其他语言不加前面特殊符号可能会导致越界）。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P  1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 不难看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

以上面红色的1为例，以它为中心的回文字符串为# 2#1#2#，该回文串“对折”以后的长度为4，因此P数组对应的值为4。P数组其它值也是这样计算出的。而且可以看出，如果P[i]中最大值-1就是原字符串最大回文子串的长度。

现在问题关键是怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，即j是i关于id 的对称点
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else       // P[j] >= mx - i 
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

于是代码如下：

//输入，并处理得到字符串s

int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));

for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) 
{
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]])
    {
        p[i++];
    }

    if (i + p[i] > mx) 
    {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}

//后面就是找出p[i]中最大值

参考文献：

https://zhuhongcheng.wordpress.com/2009/08/02/a-simple-linear-time-algorithm-for-finding-longest-palindrome-sub-string/

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