朴素贝叶斯算法

Posted 2021-04-25 数据挖掘与R语言

朴素贝叶斯(Naive Bayes,以下简称NB)算法是基于概率学习的一种分类方法，朴素贝叶斯利用先验信息来预测将来事件发生的概率。举个例子，就好比古时大夫给病人看病，他需要“望闻问切”，才能对病人的病情做出诊断。这里“望闻问切”是为了获取病人的病情即特征，然后他会对比该病情特征和以往他所见过的病情特征做比较，推断具体病症然后对症下药，这里的推断从某种程度上就用到了贝叶斯算法。好了，下面进入主题，介绍什么是NB算法。

NB算法的基础是贝叶斯定理，我们首先来理解一下贝叶斯定理的定义。

贝叶斯定理

我们直接抛出贝叶斯定理公式：

这里对其中的一些记号做一些说明，表示条件概率，即事件B发生的前提下A发生的概率。

接下来说说这个公式的妙用了，我们在实际问题中经常遇到很难直接得到，而很容易求得的情形，这时便可采用贝叶斯定理了。

为了便于理解上面的贝叶斯定理，我们引用一个典型的垃圾邮件分类问题。

把问题做简化，假设只有一个分类特征，获得如下频数表信息，行spam表示垃圾邮件，ham表示正常邮件，yes表示邮件中出现free单词，no表示邮件中未出现free单词。接下来，我们看如何用朴素贝叶斯算法来判断新来邮件是否为垃圾邮件。

freq	yes	no	Total
spam	15	5	20
ham	10	70	80
Total	25	75	100

假如新来一封邮件，我们在未获取任何特征信息的时，认为这封邮件是垃圾邮件的概率为20%（历史样本中垃圾邮件的比例）。这里的被称之为先验概率。

如果我们获取了特征信息，知道这封邮件中是否含有free单词，那么我们可以计算出或者，这个条件概率称之为似然，与之对应的 或者则称之为边缘似然。

有了以上这些概率值，我们便可很容易的求得后验概率，公式如下，

同理，我们可以计算出，然后比较其与的大小，哪一项概率值更大，那么邮件则更可能属于哪一类。

这时，新来一封邮件，经统计发现，该邮件内容中出现了free单词，我们首先按步骤计算似然、边缘似然以及先验概率：

然后计算后验概率：

于是，我们判定这封邮件为垃圾邮件。下面对NB算法的一般步骤做个总结。

NB算法

NB分类计算步骤

• 1 获取特征属性值 ,设表示类别

• 2 计算条件概率 ，先验概率 $<img\; data-s="300,640"\; data-type="png"\; src="https://image.cha138.com/20210425/798eac4c84cf46909ff277d1f42076ac.jpg"\; data-ratio="0.125"\; data-w="152"\; alt="朴素贝叶斯算法"\; class="mq-40">$，以及边缘似然
  

• 3 由贝叶斯公式计算
  

• 4 计算 ，则
  

这里计算的关键是计算条件概率。

• 当特征属性为离散情形时， 非常容易计算，只要统计各个离散的特征属性值在每种分类中出现的频率即可；

• 当特征为连续特征时，可以把连续特征离散化，离散化后计算规则同上；更一般地，我们假定其值服从正态分布。即

这里的和 为特征在类别下的样本均值和标准差。

正态分布的好处是分布参数容易估计，大多数特征属性在大样本情形下用正态分布不会有太大的问题。实际上，这里的分布形式并不局限于正态分布，确切地说，为提高分类的准确度，我们应当采用更适合的特征属性的分布形式。

Laplace校准

当特征属性为离散情形时，当其中一个类别下某个特征划分没有出现即

这时假定特征之间相互独立，那有

这可能会导致严重的预测错误。我们来看个例子：

这时，判定属于C1类的概率为

判定属于C2类的概率为

这种判定合理吗，很可能不是的。

这便是Laplace估计量设计的初衷，引入它就是用来防止这类问题的发生。Laplace校准的思想非常简单，就是对每个类别下所有划分的统计频数加一个小的常数，这个常数通常设为1，就是为了保证在每一种分类情况下，其特征的统计频数不为0。回过头来，在上述例子中加入Laplace=1，重新计算分类概率：

我们看到，经Laplace校正，判定属于C1类的概率为

判定属于C2类的概率为

可以看到，判定结论来了个大翻转，而这个判定才极有可能是最终正确的。

编写一个NB算法程序

# 设随机数种子   
set.seed(123) 
# 拆分训练和测试集       
as.ind <- which(asdat$player %in% allStarnames[-c(3,6,9,12,15,18,21,24)])
no.ind <- which(!asdat$player %in% allStarnames)
train.index <- c(as.ind,sample(no.ind, length(no.ind)%/%4*3))
asdat.train <- asdat[train.index, ]asdat.test <- asdat[-train.index, ]

# 计算概率密度函数的参数
density.M <- ddply(.data = asdat.train,
.variables = "as",                   
.fun = function(dat) 
 data.frame(feature=c("pts","per","wr"),
m=c(mean(dat$pts),mean(dat$per),mean(dat$wr)),
sd=c(sd(dat$pts),sd(dat$per),sd(dat$wr))) 
  )

# 先验概率
prior.p <- sum(asdat.train$as==1)/nrow(asdat.train)
# 朴素贝叶斯分类预测
predict.nb <- function(newdata,density.M,prior.p){
  # 提取不同类别概率密度函数的参数
  density.pts0 <- filter(density.M,feature=="pts" & as==0)
  density.per0 <- filter(density.M,feature=="per" & as==0)
  density.wr0 <- filter(density.M,feature=="wr" & as==0)
  density.pts1 <- filter(density.M,feature=="pts" & as==1)
  density.per1 <- filter(density.M,feature=="per" & as==1)
  density.wr1 <- filter(density.M,feature=="wr" & as==1)

  n <- nrow(newdata)
  pred <- rep(NA,n)
  for(i in 1:n){
    temp <- newdata[i,]
    # 计算负类概率
    f1_C0 <- dnorm(temp$pts,mean = density.pts0$m,sd = density.pts0$sd) 
    f2_C0 <- dnorm(temp$per,mean = density.per0$m,sd = density.per0$sd) 
    f3_C0 <- dnorm(temp$wr,mean = density.wr0$m,sd = density.wr0$sd) 
    p0 <- f1_C0*f2_C0*f3_C0*(1-prior.p)
    
    # 计算正类概率
    f1_C0 <- dnorm(temp$pts,mean = density.pts1$m,sd = density.pts1$sd) 
    f2_C0 <- dnorm(temp$per,mean = density.per1$m,sd = density.per1$sd) 
    f3_C0 <- dnorm(temp$wr,mean = density.wr1$m,sd = density.wr1$sd) 
    p1 <- f1_C0*f2_C0*f3_C0*prior.p
    
    # 判定
    pred[i] <- ifelse(p1>p0,1,0)
  }
  return(pred)
}

# 检验预测结果
pred <- predict.nb(asdat.test,density.M,prior.p)
table(pred,asdat.test$as)  

## pred  0  1
##    0 23  3
##    1  1  5

# 预测错误项
asdat.test$pred <- pred
select(asdat.test,player,as,pred) %>% filter(as!=pred)

##          player as pred
## 1 达米安-利拉德  0    1
## 2   德维恩-韦德  1    0
## 3 科比-布莱恩特  1    0
## 4   艾尔-霍福德  1    0

可以看到，预测的准确率还可以。有意思的是，NB算法预测结果与(←点此链接可跳转)的预测结果那完全一样，预测效果可接受，分析参见前篇。

上述案例可以帮你深入理解贝叶斯分类算法的计算流程，但是程序代码写得比较粗糙，仅适用于这个特定案例。其实，当你十分熟悉NB算法后，也可以直接调用e1071包中的naiveBayes函数，其调用形式相当简单，留给大家自行尝试，有任何问题欢迎交流，谢谢！

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