朴素贝叶斯法（naive Bayes）

Posted 2021-04-25 大雄的学习人生

朴素贝叶斯的英文叫做 naive Bayes，换句话说就是“天真贝叶斯”，它之所以天真，是因为它认为所有的特征条件都是都是独立的，虽然这种假设在现实情况中是很难成立的，但是在特征条件相关性很小时，朴素贝叶斯法就能获得不错的结果。

算法释义

朴素贝叶斯法首先在特征条件独立假设的前提下学得输入/输出的联合概率分布，然后利用贝叶斯定理求出所有可能的输出 ck 后验概率，从中取最大的结果作为输出。

算法步骤

输入：训练数据集 T，输入实例 x 输出：实例 x 的分类 (1) 计算先验概率和条件概率： $$ \begin{array} \ P(Y = ck) \ P(X^{(j)} = a{jl} | Y = ck) \ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,Sj; k=1,2,...,K \end{array} $$

(2) 计算所有 y 的后验概率： $$ P(Y = ck, X = x) = P(Y = ck) \prod{j=1}^J P(X^{(j)} = x^{(j)} | Y = ck), k = 1,2,...,K $$

(3) 取最大的后验概率对应的 y 作为结果： $$ y = arg \max{ck} {P(Y = c_k, X = x)} $$

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重要概念

贝叶斯定理

$$ P (A | B) = \frac {P(B | A) P(A)} {P(B)} $$ 经典的条件概率公式，相关的介绍网上很多，这里就不详述了。

特征条件独立假设

即假设特征条件(输入的不同维度)是完全独立的，即： $$ P(X^{(i)}, X^{(j)}) = P(X^{(i)})P(X^{(j)})，i ≠ j $$

参数估计

在朴素贝叶斯法中，学习模型意味着估计先验概率 P(Y = ck) 和条件概率 P(X(j) = x(j) | Y = ck)，下面介绍两种估计方法。

极大似然估计

$$ \begin{array} \ P(Y = ck) = \frac {\sum{n = 1}^N I(yn = ck) } {N}，k = 1,2,...,K \ P(X^{(j)} = a{jl} | Y = ck) = \frac {\sum{n = 1}^N I(xn^{(l)} = a{jl}, yn = ck) } {P(Y = ck) * N} \ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,S_j; k=1,2,...,K \end{array} $$

贝叶斯估计（拉普拉斯平滑）

在极大似然估计中，很有可能出现条件概率为零的情况，这样会导致其后验概率为零，很容易造成偏差，因此这里对极大似然估计法稍作改动，即贝叶斯估计： $$ \begin{array} \ P(X^{(j)} = a{jl} | Y = ck) = \frac {\sum{n = 1}^N I(xn^{(l)} = a{jl}, yn = ck) + λ } {P(Y = ck) * N + Sjλ} \ j = 1,2,...,J; l = 1,2,...,Sj; k=1,2,...,K；λ>0 \end{array} $$ 当 λ = 1时即拉普拉斯平滑。

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参考文献

《统计学习方法》，李航

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