BAT面试题11:为什么朴素贝叶斯如此“朴素”?

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11 为什么朴素贝叶斯如此“朴素”?

朴素贝叶斯模型,全称为:Naive Bayesian Model,Naive 能翻译为朴素,已经是很高看它了,因为我们知道naive的含义如下:

naive: marked by or showing unaffected simplicity and lack of guile or worldly experience;

它是简单的,它是缺乏worldly experience的。

正如它的名字一样,朴素贝叶斯模型假设样本特征彼此独立,没有相关关系。正如我们所知,这个假设在现实世界中是很不真实的,因此,说朴素贝叶斯真的很“朴素”。

但,朴素贝叶斯模型就没用了吗? 不是的。这个假设现实中基本上不存在, 但特征相关性很小的实际问题还是很多的, 所以这个模型仍然能够工作得很好。


下面是朴素贝叶斯的例子解释。

假如我是一个质检员,现在接到了三箱零件需要检验,其中第一箱有10个零件,第二箱有20个零件,第三箱有15个。半小时过去了,检验的结果出炉,第一箱有1个不合格,第二箱有3个不合格,第三箱2个不合格。

下午领导要来视察了,看看我验的货到底有没有问题,于是他随手拿了一个零件,我心里默默计算,领导拿到这个件为合格件的概率有多大?

在这个问题中,领导拿的这个零件首先一定在这3个箱子中的某一个,因此样本空间可以由这3个箱子组成,记 Ai 为从第i个箱子拿的零件,i的取值范围为1,2,3。然后再用一个事件来标记拿到正品,记为B,因此,领导拿到这个件为合格件的概率,记为 P(B)。

那么这个P(B)等于多少呢?这个事件B的发生肯定来自于样本空间吧,也就是说这个合格件要么从A1,A2,或者A3中获取到,因此,

1 P(B) = P(A1)*P(B | A1) + P(A2) *P(B | A2) + P(A3)*P(B | A3)
2
3       = (1/3) * 9/10 + (1/3) * 17/20 + (1/3) * 13/15 
4
5       =  0.872

上面P(B | A1) 是条件概率:零件来自于第一个箱子的条件下,并且它为合格件的概率。

果不其然,领导抽到了一个合格品,然后他亲自检验了下,发现质检的没有问题,冲着我笑了笑,很满意地拍拍屁股就走人了。

当他走了的时候,我想到了一个问题,领导抽的这个合格品来自于箱子1的概率是多大呢?这个问题也就是求 P(A1 | B),即取到合格品事件B发生了地情况下,来自于A1的概率。

求P(A1 | B)称为求解逆向概率,这个概率往往是不好求解答,但是它对应的正向概率:P(B | A1),往往求解简单。

因此,自然地,既然 P(A1|B)比较难求解,我们如下转化一下:

1P(A1| B) =  P(A1*B) / P(B) 

其中,A1*B 事件表示从第一个箱子抽取且为合格件,则

1 P(A1*B) = P(A1) * P(B | A1) = (1/3) * 9/10 =  0.3 

P(A1*B),也可以记为:P(A1,B),它称为联合概率。

因此,

1P(A1| B) =  0.3  / 0.872 = 0.344 

这个已知B发生,然后,预测B来自于哪里,便是贝叶斯公式做的事情。

那么这个例子如何上升进而提取出一个模型出来呢?

2 例子引出贝叶斯公式

以上《合格品的例子》的样本空间有 A1,A2 ,A3 组成,它们把样本空间划分为三部分。

如果将划分上升到由 n 个部分组成,抽中一个合格件为本次随机试验的事件B,明显地,P(Ai) 和 P(B)都大于零,则事件B发生后,找出它属于哪个类别的计算公式如下:

BAT面试题11:为什么朴素贝叶斯如此“朴素”?

贝叶斯公式是要找出组成发生事件B的各个样本空间,然后预测事件B的发生来自于Ai的概率。

其中 P(Ai) 称为原因的先验概率,可以看到它是在不知道事件B是否发生的情况下获取的概率。比如在抽取零件时,我们不知道能不能抽取到合格件,但是选择任意一个箱子的概率一定都为1/3,所以称为先验概率。

而 P(Ai | B) 是原因的后验概率,它是在知道了事件B发生的条件下,有了这个进一步的信息后,判断原因 Ai 发生的概率有多大。可以看到,一般地,如果对样本空间做了大于1的划分,即:

BAT面试题11:为什么朴素贝叶斯如此“朴素”?

所以根据上面提到贝叶斯公式,不难推断出:

这也就是说在获取了进一步的信息B后,原因的后验概率一般大于原因的先验概率。

朴素贝叶斯的应用实战:

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