文末有福利5个字极简入门朴素贝叶斯模型

Posted 2021-04-25 算法与数学之美

导语：作为理科生或者程序员，引以为傲的除了身上的格子衬衫外，我们还有一样很重要的就是逻辑思维，对于很多事，譬如一些女生的流行观点，我们似乎天然地就喜欢抛出一句“真没逻辑”的评价，这也为我们自己挣得了“凭实力单身”的美誉。如果你也是这样的，那么你需要好好了解一下贝叶斯公式的基本思想。

贝叶斯公式的基本思想

朴素贝叶斯由两部分组成，“朴素”是一种带有假设的限定条件，“贝叶斯”则指的是贝叶斯公式。合起来，朴素贝叶斯指的就是在“朴素”假设条件下运用“贝叶斯公式”。

显然，“朴素贝叶斯”是一条偏正短语，核心和重点是贝叶斯公式。贝叶斯公式与其说是一条公式，更不如说是一种思想。统计学中有两座山头，分别叫频率学派和贝叶斯学派，而这两座山头都有各自庞大的学识体系。这里本着现学现用的原则，只拣我们马上就能用的讲。

我们一般会把符号说明安排在数学解析部分，不过这里有两个概率符号需要提前介绍，它们是本章的主角。

● P(X) ：这是概率统计中最基本的符号，表示X出现的概率。如在掷骰子的游戏中，P(6)就是指骰子出现数字“6”的概率。这个概率显然为1/6。

● P(X|Y) ：这是条件概率的符号，比上面的概率符号中间多了一竖，代表条件。P(X|Y)的意思是在Y发生的条件下，X发生的概率。它是贝叶斯公式的主角。

是不是觉得距离完全了解条件概率还差那么一点点儿？上文我们一起了解了出题老师的心路历程，现在还是继续请这位出题老师补上这最后的一点点吧。

我们用P(D)代表选项D为错误选项的概率，在正确答案均匀分布时，概率值为25%。那么P(D|C)就代表选项C为错误选项时，D为错误选项的概率。这与单纯的P(D）有什么不同呢？别忘了，这位老师有一点癖好，选择了C为错误选项之后，会顺手把D也作为错误选项。现在的已知条件是选项C已经确定是错误选项了，在这种前提条件下，选项D是错误选项的概率，也即P(D|C)的值就远远超过了25%。这就是条件概率的意义。

对于条件概率，我还要多说一点儿。前面我们说线性模型是“钢铁直男”的典范，相比之下，条件概率以及后面的贝叶斯公式就是“直男们”理解少女之心的一把钥匙。

贝叶斯的基本逻辑

作为理科生或者程序员，引以为傲的除了身上的格子衬衫外，我们还有一样很重要的就是逻辑思维，对于很多事，譬如一些女生的流行观点，我们似乎天然地就喜欢抛出一句“真没逻辑”的评价，这也为我们自己挣得了“凭实力单身”的美誉。如果你也是这样的，那么你需要好好了解一下贝叶斯公式的基本思想。

贝叶斯公式的核心是条件概率，譬如P(B|A)，就表示当A发生时，B发生的概率，如果P(B|A)的值越大，说明一旦发生了A,B就越可能发生。两者可能存在较高的相关性。

相关性就是贝叶斯公式要表达的哲学，明白了这一哲学，对于很多事情，特别是女生的流行观点，我们将豁然开朗。譬如很多男生都曾经被女朋友要求在节日送礼物，而理由多半是这么一句话：“我不是在乎礼物，而是在乎你用不用心。”很多男生想不明白：你要我送礼物，又说不在乎礼物，这是什么逻辑？

那么这里我要说：女生说的是有逻辑的！只不过与男生不一样，男生的逻辑偏重因果性，女生的逻辑偏重相关性。因果性很简单，就是A→B，但如果A和B满足相关性，情况则要复杂一些，譬如最经典的数据挖掘案例“尿布和啤酒”，年轻的爸爸会在买尿布的时候顺便买啤酒，这时尿布和啤酒就呈相关性，如果我们用P(尿布)来表示买尿布的概率的话，一旦P(尿布)的值增加，那么P(啤酒|尿布)的值也会增加。其意义是，当尿布的销量增加时，啤酒的销量也会增加，这就是相关性，但相关性不是因果性，二者虽然同时增长，但并不存在因果关系。

明白了这一点，男生就能明白女生的逻辑。对于“我不是在乎礼物，而是在乎你用不用心”这句话，我们用公式可以表达如下：

P(用心|送礼物)

那么，根据贝叶斯公式，当送礼物的发生概率越大，也即P(送礼物)的值越大， P(用心|送礼物)的值也就越大，也就表示你对这个女生越用心。这就是女生怎样利用相关性，通过送礼物来考察你是否用心。

好了，我们大致解释了贝叶斯公式。最后要说的是，相关性是建立在统计数据的基础之上的，所以“送礼物”和“用心”到底是否具有相关性，还需要进行社会学的调查。

用贝叶斯公式进行选择

如果你已经熟悉机器学习算法的套路，一定已经从上面对条件概率的描述中“闻”到了预测的味道。 贝叶斯公式预测的核心思想就5个字——“看起来更像”。

在贝叶斯看来，世界不是静止和绝对的，而是动态和相对的，希望利用已知经验来进行判断。用“经验”进行“判断”，经验怎么来？有了经验怎么判断？一句话实际包含了两轮过程。

第一轮的分级：是已知类别而统计特征，即某一特征在该类中的出现概率，是把类别分解成特征概率的过程。

第二轮的还原：是已知特征而推测类别，这里将第一轮的结果用上，是把知道统计情况的特征还原成某一类的过程。

说到这里，就不能不提“先验”和“后验”了，这两个词儿看起来相当哲学，也确实是康德的《纯粹理性批判》中的主角。对于这里的“验”，主张认知的人将其解释成经验，主张实践的人将其解释成“实验”，在我看来，先验和后验不妨认为是两位诸葛亮，先验这位是事前诸葛亮，后验这位是事后诸葛亮。就以空城计来说，诸葛亮布阵的时候，是根据司马懿一贯的个性，断定他不敢进城，这是先验。等到司马懿真的来了，在城下犹豫不决，要退不退，诸葛亮一看就知道事妥了，这是后验。

贝叶斯版的预测未来

先验和后验是怎么用于预测的呢？这里我想展示一下我在中学时学会的看发型猜女同学的“技术”。假设我的班上一共有10位女同学，其中一位叫安吉利，中学时女生个子都差不多高，又穿着一样的校服，光看背影猜中谁是安吉利的概率是10%，基本靠蒙了，这就是先验概率，先记作P(安吉利)。但是有一天我突然发现，安吉利同学特别喜欢扎马尾，不过扎马尾又不是什么独占的发明专利，而且这个年龄阶段的女孩子又都爱扎马尾，所以，不是所有扎马尾的女同学都叫安吉利。

怎么办呢？我又利用上课的时间统计了一下，班上女同学一共有三种发型，扎马尾的概率大概为30%，记作P(马尾)。而安吉利同学真的非常喜欢扎马尾，她扎马尾的概率高达70%，记作P(马尾|安吉利)。这里我们用上了前面介绍的条件概率，P(马尾|安吉利)的意思是，在女同学是安吉利的前提条件下发型是马尾的概率，在贝叶斯公式中这又称为似然度（Likelihood）。有了这三个统计数据，我心里就有底了，往后见到扎马尾的女同学，有两成多的概率就是我们的安吉利。

其中的奥秘就是贝叶斯公式。也许你已经察觉，扎马尾的女同学中她是安吉利的概率也是一种条件概率，记作P(安吉利|马尾)，这就是后验概率。根据贝叶斯公式，我们有：

P(马尾)·P(安吉利|马尾)= P(安吉利)·P(马尾|安吉利)

代入我们牺牲宝贵的上课时间得到的统计数据，则可算出：

P(安吉利|马尾)=10%×70%/30%=23.3%

前面我们说，用先验和后验进行选择判断要分成两个阶段，现在有了似然度就好解释了。先验概率是已经知道的，而我们通过经验或实验要了解的就是这个似然度，知道似然度再加上先验，我们就能知道后验概率了。

可惜的是，虽然贝叶斯公式能够告诉我谁是安吉利，但是它没办法告诉我。为什么安吉利同学会对马尾如此执迷。

下次再聊。

以上内容摘自《机器学习算法的数学解析与Python实现》一书，经出版方授权发布。

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