干货分享丨常用算法之回溯法

Posted 2021-04-20 北京逸天教育

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概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

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基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

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用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

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算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

   1:int a[n],i;

   2:初始化数组a[];

   3: i = 1;

   4: while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头

   5: {

   6:     if(i > n)                                              // 搜索到叶结点

   7:     {   

   8:           搜索到一个解，输出；

   9:     }

  10:     else                                                   // 处理第i个元素

  11:     { 

  12:           a[i]第一个可能的值；

  13:           while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)

  14:           {

  15:               a[i]下一个可能的值；

  16:           }

  17:           if(a[i]在搜索空间内)

  18:          {

  19:               标识占用的资源；

  20:               i = i+1;                              // 扩展下一个结点

  21:          }

  22:          else 

  23:         {

  24:               清理所占的状态空间；            // 回溯

  25:               i = i –1; 

  26:          }

  27: }

(3）递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

   1: int a[n];

   2: try(int i)

   3: {

   4:     if(i>n)

   5:        输出结果;

   6:      else

   7:     {

   8:        for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径

   9:        {

  10:            if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件

  11:              {

  12:                 a[i] = j;

  13:               ...                         // 其他操作

  14:                 try(i+1);

  15:               回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;

  16:               }

  17:          }

  18:      }

  19: }