常用算法--穷举法

Posted 2021-04-20 Python刷LeetCode

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5-2019

人生的旅途何如？

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算法是解决问题的重要手段，通过对问题的研究和分析，设计算法对问题进行求解，提高分析问题和解决问题的能力。经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举法、贪心法、动态规划、分治法、回溯法等    

穷举法的基本思想是根据题目的部分条件确定答案的大致范围，并在此范围内对所有可能的情况逐一验证，直到全部情况验证完毕。若某个情况验证符合题目的全部条件，则为本问题的一个解；若全部情况验证后都不符合题目的全部条件，则本题无解。穷举法也称为枚举法。

下面我们借用几个例题来更加深入的学习一下穷举法。

传统的鸡兔同笼问题就可以用穷举法来解决。问题描述如下：鸡兔同笼,共有98个头,386只脚，请问鸡、兔各有几只？

我们用穷举法的思想来思考，我们考虑最多有多少只鸡，最多有多少只兔。我们发现鸡的取值为0-98，共有99种情况，兔的取值为0-96，共有97种情况，所以穷举所有可能的情况，共有99*97种情况

我们设鸡的个数为x个，兔的个数为y个，x和y的取值只需满足x+y=98，2*x+4*y=386则x和y就是我们所要的取值

for x in range(99): for y in range(97): if x+y == 98 and 2*x+4*y==386: print('%d,%d' % (x,y))

另外一个相似的问题是搬砖问题，可以与鸡兔同笼问题一样使用穷举法来解决。问题描述如下：36块砖 36个人搬 。男搬4 女搬3 两个小儿抬一砖。 要求一次性搬完 问：男、女、小儿各几人？

根据穷举法的思想，男人的取值为0-9，共有10种情况，女人的取值为0-12，共有13种情况，小儿的取值为0-36（但需为偶数）共有19种情况。

我们设男人x，女人y，小儿z，需满足：x+y+z=36以及4x+3y+z/2=36 只需要求解方程的xyz即可

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for x in range(10): for y in range(13): for z in range(0,37,2): if (x+y+z)==36 and (4*x+3*y+z/2)==36: print('%d,%d,%d' % (x,y,z))

我们在这里讨论一下背包问题，关于背包问题有很多的解法，我们在这里使用穷举法来求解一下背包问题。背包问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。我们可以具体定义为给定n个物品质量为{w1,w2,...,wn}，相对应的价值为{v1,v2,...,vn}，我们拥有一个背包，背包的容量为C，求使总价值最高的选择。

我们对每一件物品的选择只有两种情况，装入或者不装入，不能将一个物品装入背包多次，也不能将物品的部分装入，那么我们最多有2^n中情况，我们的每一种解决方案设为{x1,x2,...,xn} ，Xi=1表示第i个物品放入背包中， Xi=0表述第i个物品不放入背包。

我们只要找到满足总重量小于C，总价值最高的解决方案即可。

#生成2^n种情况n = 3result = ['']for i in range(n): temp1 = [x+'1' for x in result] temp2 = [x+'0' for x in result] result = temp1+temp2result = [list(x) for x in result] #将str类型转换为list
def find_max_value(X:list,w:list,v:list,c:float): ''' retype: list,int ''' max_value = 0 for x in X: temp_w = 0 temp_v = 0 for i in range(len(x)): #若xi==1 则表示将该物品装入背包 if x[i] == '1': temp_w += w[i] temp_v += v[i]  #若总重量小于c 以及 temp_v大于 max_value 执行 if temp_w<=c and temp_v>max_value: temp_choice = x max_value = temp_v return temp_choice,max_value  #总共外部要循环2^n 内部要计算总重量和总价值循环n 总的算法时间复杂度为O(n*2^n)

talk is cheap, show me the code...

·end·

GitHub:https://github.com/wanghaoying/leetcode/blob/master/algorithm/%E7%A9%B7%E4%B8%BE%E6%B3%95.ipynb